Calcular integral triplaE d x d y d z, onde E é a região interior ao cilindro x^2-x+y^2=0 e à esfera x^2+y^2+z^2=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla integral triplaE d x d y d z, onde E é a região dentro do cilindro x^2-x+y^2=0 e também dentro da esfera x^2+y^2+z^2=1. Vamos usar conceitos de geometria espacial e cálculo de integrais múltiplas para encontrar o volume dessa região.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a equação do cilindro: x^2-x+y^2=0. Podemos completar o quadrado para facilitar a visualização:
x^2 - x + y^2 = 0 (x - 12)^2 - 14 + y^2 = 0 (x - 12)^2 + y^2 = 14
Isso mostra que o cilindro tem centro em (12, 0) no plano xy e raio 12.

Passo 3

Agora, a equação da esfera é x^2 + y^2 + z^2 = 1, que é uma esfera de raio 1 centrada na origem.

Passo 4

Para encontrar a região E, precisamos identificar onde o cilindro e a esfera se intersectam. Como o cilindro é infinito ao longo do eixo z, a interseção com a esfera será uma “fatia” do cilindro dentro da esfera.

Passo 5

Vamos usar coordenadas cilíndricas para simplificar a integração, já que estamos lidando com um cilindro. Nas coordenadas cilíndricas:
x = r cos theta y = r sin theta z = z
E o elemento de volume é dV = r , dr , dtheta , dz.

Passo 6

A equação do cilindro em coordenadas cilíndricas fica:
(x - 12)^2 + y^2 = 14 (r cos theta - 12)^2 + (r sin theta)^2 = 14
Expandindo isso:
r^2 cos^2 theta - r cos theta + 14 + r^2 sin^2 theta = 14 r^2 (cos^2 theta + sin^2 theta) - r cos theta = 0 r^2 - r cos theta = 0 r (r - cos theta) = 0
Então, r = 0 ou r = cos theta. Como r >= 0, consideramos r = cos theta.

Passo 7

A esfera em coordenadas cilíndricas é:
r^2 + z^2 = 1 z = pm raiz1 - r^2
Então, para cada r, z varia de -raiz1 - r^2 a raiz1 - r^2.

Passo 8

Agora, vamos determinar os limites de integração. O raio r varia de 0 a cos theta, mas precisamos considerar o intervalo de theta onde cos theta >= 0, ou seja, de -pi2 a pi2.

Passo 9

Então, nossa integral tripla fica:
integral triplaE dV = integral-pi2^pi2 integral0^cos theta integral-raiz1 - r^2^raiz1 - r^2 r , dz , dr , dtheta

Passo 10

Vamos resolver a integral em ordem. Primeiro, integramos em z:
integral-raiz1 - r^2^raiz1 - r^2 dz = 2 raiz1 - r^2
Então, a integral fica:
integral triplaE dV = 2 integral-pi2^pi2 integral0^cos theta r raiz1 - r^2 , dr , dtheta

Passo 11

Agora, vamos resolver a integral em r. Fazendo a substituição u = 1 - r^2, temos du = -2r , dr ou r , dr = -12 du. Os limites de u vão de u=1 a u=1 - cos^2 theta = sin^2 theta.
Então, a integral em r torna-se:
-12 integral1^sin^2 theta raizu , du = 12 integralsin^2 theta^1 u^1/2 , du = 12 [ 23 u^3/2 ]sin^2 theta^1 = 13 (1 - (sin^2 theta)^3/2) = 13 (1 - |sin^3 theta|)
Como theta está entre -pi2 e pi2, sin theta é não negativo, então:
13 (1 - sin^3 theta)

Passo 12

Agora, substituímos de volta na integral em theta:
integral triplaE dV = 2 cdot 13 integral-pi2^pi2 (1 - sin^3 theta) , dtheta = 23 [ integral-pi2^pi2 1 , dtheta - integral-pi2^pi2 sin^3 theta , dtheta ]

Passo 13

Calculando as integrais:
  1. integral-pi2^pi2 1 , dtheta = pi
  2. integral-pi2^pi2 sin^3 theta , dtheta = 0 (pois sin^3 theta é uma função ímpar e o intervalo é simétrico em torno de 0)
Então:
integral triplaE dV = 23 (pi - 0) = 2pi3

Resposta

O volume da região E é 2pi3.

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