Calcular
, onde
é a região interior ao cilindro
e à esfera
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla
, onde
é a região dentro do cilindro
e também dentro da esfera
. Vamos usar conceitos de geometria espacial e cálculo de integrais múltiplas para encontrar o volume dessa região.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a equação do cilindro:
. Podemos completar o quadrado para facilitar a visualização:
Isso mostra que o cilindro tem centro em
no plano xy e raio
.
Passo 3
Agora, a equação da esfera é
, que é uma esfera de raio 1 centrada na origem.
Passo 4
Para encontrar a região
, precisamos identificar onde o cilindro e a esfera se intersectam. Como o cilindro é infinito ao longo do eixo z, a interseção com a esfera será uma “fatia” do cilindro dentro da esfera.
Passo 5
Vamos usar coordenadas cilíndricas para simplificar a integração, já que estamos lidando com um cilindro. Nas coordenadas cilíndricas:
E o elemento de volume é
.
Passo 6
A equação do cilindro em coordenadas cilíndricas fica:
Expandindo isso:
Então,
ou
. Como
, consideramos
.
Passo 7
A esfera em coordenadas cilíndricas é:
Então, para cada
,
varia de
a
.
Passo 8
Agora, vamos determinar os limites de integração. O raio
varia de 0 a
, mas precisamos considerar o intervalo de
onde
, ou seja, de
a
.
Passo 9
Então, nossa integral tripla fica:
Passo 10
Vamos resolver a integral em ordem. Primeiro, integramos em
:
Então, a integral fica:
Passo 11
Agora, vamos resolver a integral em
. Fazendo a substituição
, temos
ou
. Os limites de
vão de
a
.
Então, a integral em
torna-se:
Como
está entre
e
,
é não negativo, então:
Passo 12
Agora, substituímos de volta na integral em
:
Passo 13
Calculando as integrais:
-
-
(pois é uma função ímpar e o intervalo é simétrico em torno de 0)
Então:
Resposta
O volume da região
é
.