Use transformada de Laplace para resolver o PVI
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial ordinária de segunda ordem com condições iniciais e vamos usar a Transformada de Laplace para encontrar a solução. Basicamente, a Transformada de Laplace ajuda a transformar equações diferenciais em equações algébricas, que são mais fáceis de resolver. Para isso, vamos precisar conhecer as propriedades das transformadas aplicadas a derivadas e funções exponenciais multiplicadas por polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial:
Lembrando que:
Como as condições iniciais são
e
, isso simplifica as transformadas das derivadas.
Passo 3
Substituindo as transformadas na equação:
Simplificando:
Fatorando
:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar
. Sabemos que:
Aqui,
e
, então:
Substituindo de volta na equação:
Passo 5
Vamos resolver para
:
Observando que
, então:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar a Transformada Inversa de Laplace para obter
. Sabemos que:
Aqui,
e
, então:
Resposta
A solução da equação diferencial dada é:
Exercícios relacionados
Use séries de potências para resolver a EDO
Calcular
, onde
é a região interior ao cilindro
e à esfera
.
Use transformada de Laplace para resolver o PVI
onde
Calcule:
(Resposta:
)