Use transformada de Laplace para resolver o PVI
y'' - 4y' + 4y = t^3 e^(2t), y(0) = 0, y'(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial ordinária de segunda ordem com condições iniciais e vamos usar a Transformada de Laplace para encontrar a solução. Basicamente, a Transformada de Laplace ajuda a transformar equações diferenciais em equações algébricas, que são mais fáceis de resolver. Para isso, vamos precisar conhecer as propriedades das transformadas aplicadas a derivadas e funções exponenciais multiplicadas por polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial:
Lembrando que:
Como as condições iniciais são e , isso simplifica as transformadas das derivadas.

Passo 3

Substituindo as transformadas na equação:
Simplificando:
Fatorando :

Passo 4

Agora, precisamos encontrar . Sabemos que:
Aqui, e , então:
Substituindo de volta na equação:

Passo 5

Vamos resolver para :
Observando que , então:

Passo 6

Agora, precisamos encontrar a Transformada Inversa de Laplace para obter . Sabemos que:
Aqui, e , então:

Resposta

A solução da equação diferencial dada é:

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