Use séries de potências para resolver a EDO

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo . Nosso objetivo é resolver essa equação usando séries de potências. Para isso, vamos precisar entender como representar a solução como uma série, calcular suas derivadas e substituir na equação para encontrar os coeficientes.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução pode ser escrita como uma série de potências em torno de . Ou seja:
Aqui, são os coeficientes da série que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos calcular a primeira e a segunda derivadas de :

Passo 4

Vamos substituir , e na EDO original:

Passo 5

Vamos ajustar os índices das somas para que todas elas tenham a mesma potência de . Vamos substituir na primeira soma e na segunda:

Passo 6

Agora, para que a equação seja válida para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Vamos igualar os coeficientes de a zero:
No entanto, precisamos considerar todas as potências, então vamos reorganizar:

Passo 7

Agora, isolamos :
Essa é a relação de recorrência que nos permite encontrar os coeficientes da série.

Passo 8

Vamos encontrar os primeiros coeficientes começando com e como constantes (já que a equação é de segunda ordem):
Para :
Como , temos:
Para :
Substituindo :
E assim por diante, podemos continuar calculando os coeficientes usando essa relação.

Resposta

A solução geral da EDO pode ser expressa como uma série de potências:
Onde e são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

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