Use séries de potências para resolver a EDO
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo
. Nosso objetivo é resolver essa equação usando séries de potências. Para isso, vamos precisar entender como representar a solução como uma série, calcular suas derivadas e substituir na equação para encontrar os coeficientes.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução
pode ser escrita como uma série de potências em torno de
. Ou seja:
Aqui,
são os coeficientes da série que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos calcular a primeira e a segunda derivadas de
:
Passo 4
Vamos substituir
,
e
na EDO original:
Passo 5
Vamos ajustar os índices das somas para que todas elas tenham a mesma potência de
. Vamos substituir
na primeira soma e
na segunda:
Passo 6
Agora, para que a equação seja válida para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero. Vamos igualar os coeficientes de
a zero:
No entanto, precisamos considerar todas as potências, então vamos reorganizar:
Passo 7
Agora, isolamos
:
Essa é a relação de recorrência que nos permite encontrar os coeficientes da série.
Passo 8
Vamos encontrar os primeiros coeficientes começando com
e
como constantes (já que a equação é de segunda ordem):
Para
:
Como
, temos:
Para
:
Substituindo
:
E assim por diante, podemos continuar calculando os coeficientes
usando essa relação.
Resposta
A solução geral da EDO
pode ser expressa como uma série de potências:
Onde
e
são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.
Exercícios relacionados
Calcular
, onde
é a região interior ao cilindro
e à esfera
.
Calcular
, onde
é a região limitada por
e
.
Use transformada de Laplace para resolver o PVI
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onde