Calcular
, se
é a região limitada pela esfera
e
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral tripla
, onde a região
é limitada pela esfera
e pelos planos
,
, e
. Isso envolve conceitos de cálculo multivariado, especificamente integrais triplas em coordenadas esféricas. Para resolver, vamos precisar converter as coordenadas cartesianas para esféricas e entender os limites de integração.
Passo 2
Vamos converter a integral para coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas,
,
, e
. O volume diferencial em coordenadas esféricas é
.
Passo 3
Substituindo
e
na integral, temos:
Então, a integral fica:
Passo 4
Simplificando a expressão dentro da integral:
Agora, a integral é:
Passo 5
Vamos resolver a integral em relação a
primeiro:
Então, a integral se torna:
Passo 6
Agora, resolvemos a integral em relação a
:
Fazendo a substituição
,
, obtemos:
Então, a integral agora é:
Passo 7
Por fim, resolvemos a integral em relação a
:
Sabemos que:
Aplicando para
:
Portanto, a integral total é:
Resposta
A integral tripla
é igual a
.