Calcular integral triplaR x y d x d y d z, se R é a região limitada pela esfera x^2+y^2+z^2=1 e x=0, y=0, z=0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral tripla , onde a região é limitada pela esfera e pelos planos , , e . Isso envolve conceitos de cálculo multivariado, especificamente integrais triplas em coordenadas esféricas. Para resolver, vamos precisar converter as coordenadas cartesianas para esféricas e entender os limites de integração.

Passo 2

Vamos converter a integral para coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, , , e . O volume diferencial em coordenadas esféricas é .

Passo 3

Substituindo x y = (rho sinphi costheta)(rho sinphi sintheta) = rho^2 sin^2phi costheta sintheta e integral triplaR x y , dx , dy , dz = integral0^pi2 integral0^pi2 integral0^1 rho^2 sin^2phi costheta sintheta cdot rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta na integral, temos:
Então, a integral fica:

Passo 4

Simplificando a expressão dentro da integral:
rho^2 sin^2phi costheta sintheta cdot rho^2 sinphi = rho^4 sin^3phi costheta sintheta
Agora, a integral é:
integral0^pi2 integral0^pi2 integral0^1 rho^4 sin^3phi costheta sintheta , drho , dphi , dtheta

Passo 5

Vamos resolver a integral em relação a integral0^1 rho^4 , drho = [ rho^55 ]0^1 = 15 primeiro:
15 integral0^pi2 integral0^pi2 sin^3phi costheta sintheta , dphi , dtheta
Então, a integral se torna:

Passo 6

Agora, resolvemos a integral em relação a integral0^pi2 costheta sintheta , dtheta :
integral0^1 u , du = [ u^22 ]0^1 = 12
Fazendo a substituição 15 cdot 12 integral0^pi2 sin^3phi , dphi = 110 integral0^pi2 sin^3phi , dphi , , obtemos:
Então, a integral agora é:

Passo 7

Por fim, resolvemos a integral em relação a integral0^pi2 sin^3phi , dphi :
integral sin^nphi , dphi = n - 1n integral sin^n-2phi , dphi
Sabemos que:
integral0^pi2 sin^3phi , dphi = 23
Aplicando para 110 cdot 23 = 115 :
Portanto, a integral total é:

Resposta

A integral tripla é igual a .

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