Calcular , se é a região limitada pela esfera e .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral tripla , onde a região é limitada pela esfera e pelos planos , , e . Isso envolve conceitos de cálculo multivariado, especificamente integrais triplas em coordenadas esféricas. Para resolver, vamos precisar converter as coordenadas cartesianas para esféricas e entender os limites de integração.

Passo 2

Vamos converter a integral para coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, , , e . O volume diferencial em coordenadas esféricas é .

Passo 3

Substituindo e na integral, temos:
Então, a integral fica:

Passo 4

Simplificando a expressão dentro da integral:
Agora, a integral é:

Passo 5

Vamos resolver a integral em relação a primeiro:
Então, a integral se torna:

Passo 6

Agora, resolvemos a integral em relação a :
Fazendo a substituição , , obtemos:
Então, a integral agora é:

Passo 7

Por fim, resolvemos a integral em relação a :
Sabemos que:
Aplicando para :
Portanto, a integral total é:

Resposta

A integral tripla é igual a .

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