Calcular integral triplaR raizx^2+y^2 d x d y d z onde R é o sólido limitado por z=raizx^2+y^2, z=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve uma tripla integral. A questão pede para calcular , onde é o sólido limitado pelas superfícies e .
Aqui, estamos trabalhando com cálculo em várias dimensões, especificamente com integrais triplas. Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que facilitam bastante quando temos simetria circular, como neste caso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as coordenadas cilíndricas. Nessa coordenação, a relação entre as coordenadas cartesianas x = r cos theta, y = r sin theta, z = z e cilíndricas dV = r , dr , dtheta , dz é dada por:
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é:

Passo 3

Agora, vamos reescrever a função que estamos integrando, raizx^2+y^2 = r , em coordenadas cilíndricas. Como integral triplaR r cdot r , dr , dtheta , dz = integral triplaR r^2 , dr , dtheta , dz , a função vira simplesmente:
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos definir os limites de integração. O sólido está entre o cone e o plano .
  • Para , ele varia de até .
  • Para , no ponto onde e , temos . Então, varia de 0 a 1.
  • Para , como estamos cobrindo todo o círculo, varia de 0 a .

Passo 5

Agora, colocamos tudo junto na integral tripla:
integral0^2pi integral0^1 integralr^1 r^2 , dz , dr , dtheta
Vamos resolver a integral em ordem: primeiro em , depois em , e por último em .

Passo 6

Integrando em relação a integralr^1 r^2 , dz = r^2 cdot (1 - r) = r^2 - r^3 :
integral0^2pi integral0^1 (r^2 - r^3) , dr , dtheta
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, integramos em relação a integral0^1 (r^2 - r^3) , dr = [ r^33 - r^44 ]0^1 = ( 13 - 14 ) = 112 :
integral0^2pi 112 , dtheta
Então, a integral fica:

Passo 8

Por fim, integramos em relação a integral0^2pi 112 , dtheta = 112 cdot 2pi = pi6 :

Resposta

O valor da integral tripla é .

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