Calcular onde é o sólido limitado por

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve uma tripla integral. A questão pede para calcular , onde é o sólido limitado pelas superfícies e .
Aqui, estamos trabalhando com cálculo em várias dimensões, especificamente com integrais triplas. Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que facilitam bastante quando temos simetria circular, como neste caso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as coordenadas cilíndricas. Nessa coordenação, a relação entre as coordenadas cartesianas e cilíndricas é dada por:
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é:

Passo 3

Agora, vamos reescrever a função que estamos integrando, , em coordenadas cilíndricas. Como , a função vira simplesmente:
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos definir os limites de integração. O sólido está entre o cone e o plano .
  • Para , ele varia de até .
  • Para , no ponto onde e , temos . Então, varia de 0 a 1.
  • Para , como estamos cobrindo todo o círculo, varia de 0 a .

Passo 5

Agora, colocamos tudo junto na integral tripla:
Vamos resolver a integral em ordem: primeiro em , depois em , e por último em .

Passo 6

Integrando em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, integramos em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 8

Por fim, integramos em relação a :

Resposta

O valor da integral tripla é .

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Considere a soma seguinte
a) Verificar que as parcelas desta soma são de uma P.A, identifique a razão e o n-ésimo termo.
Calcular
Calcular
Determine se a sequência converge ou diverge e se a série converge ou diverge. . (a sequência converge para 0 e a série converge para .)