Calcular
onde
é o sólido limitado por
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve uma tripla integral. A questão pede para calcular
, onde
é o sólido limitado pelas superfícies
e
.
Aqui, estamos trabalhando com cálculo em várias dimensões, especificamente com integrais triplas. Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que facilitam bastante quando temos simetria circular, como neste caso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as coordenadas cilíndricas. Nessa coordenação, a relação entre as coordenadas cartesianas
e cilíndricas
é dada por:
E o elemento de volume
em coordenadas cilíndricas é:
Passo 3
Agora, vamos reescrever a função que estamos integrando,
, em coordenadas cilíndricas. Como
, a função vira simplesmente:
Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos definir os limites de integração. O sólido
está entre o cone
e o plano
.
- Para
, ele varia de até . - Para
, no ponto onde e , temos . Então, varia de 0 a 1. - Para
, como estamos cobrindo todo o círculo, varia de 0 a .
Passo 5
Agora, colocamos tudo junto na integral tripla:
Vamos resolver a integral em ordem: primeiro em
, depois em
, e por último em
.
Passo 6
Integrando em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, integramos em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 8
Por fim, integramos em relação a
:
Resposta
O valor da integral tripla é
.
Exercícios relacionados
Considere a soma seguinte
a) Verificar que as parcelas desta soma são de uma P.A, identifique a razão e o n-ésimo termo.
Calcular
Calcular
Determine se a sequência
converge ou diverge e se a série
converge ou diverge.
. (a sequência converge para 0 e a série converge para
.)