Calcular integral0^1 integral0^z integral0^y x y^2 z^3 d x d y d z

Passo 1

Então, temos um exercício de integração múltipla. Precisamos calcular a integral tripla . Vamos usar conceitos de cálculo integral em várias variáveis para resolver isso. Precisaremos entender como integrar funções passo a passo em cada variável.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a integral0^y x y^2 z^3 , dx = y^2 z^3 [ 12x^2 ]0^y = y^2 z^3 ( 12y^2 - 0 ) = 12 y^4 z^3 . Olhe só, para integrar em relação a , consideramos e como constantes. A integral de em relação a é . Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos integrar o resultado em relação a integral0^z 12 y^4 z^3 , dy = 12 z^3 [ 15y^5 ]0^z = 12 z^3 ( 15z^5 - 0 ) = 110 z^8 . Temos e precisamos integrar de 0 a . A integral de em relação a é . Então:

Passo 4

Por fim, vamos integrar integral0^1 110 z^8 , dz = 110 [ 19z^9 ]0^1 = 110 ( 19 - 0 ) = 190 em relação a de 0 a 1. A integral de em relação a é . Então:

Resposta

O valor da integral é .

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