Considere a soma seguinte
a) Verificar que as parcelas desta soma são de uma P.A, identifique a razão e o n-ésimo termo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma soma que é assim:
O que a questão está pedindo é para conferir se esses números formam uma Progressão Aritmética (P.A.), que é uma sequência onde a diferença entre um termo e o anterior é sempre a mesma. Além disso, precisamos identificar qual é essa razão da P.A. e encontrar o n-ésimo termo dessa sequência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma Progressão Aritmética. Em uma P.A., cada termo a partir do segundo é obtido adicionando-se uma constante chamada de razão ® ao termo anterior. A fórmula geral para o n-ésimo termo de uma P.A. é:
Onde:
-
é o n-ésimo termo; -
é o primeiro termo; -
é a razão; -
é a posição do termo na sequência.
Passo 3
Vamos verificar se os termos dados realmente formam uma P.A. Para isso, precisamos encontrar a diferença entre termos consecutivos e ver se essa diferença é constante.
Vamos calcular as diferenças:
- Entre o primeiro e o segundo termo:
- Entre o segundo e o terceiro termo:
- Entre o terceiro e o quarto termo:
- Entre o quarto e o quinto termo:
Vimos que a diferença entre cada par de termos consecutivos é sempre 2. Portanto, os termos realmente formam uma Progressão Aritmética com motivo constante.
Passo 4
Agora que confirmamos que é uma P.A., vamos identificar a razão ®. Como vimos nas diferenças calculadas, a razão é 2.
Então,
.
Passo 5
Por fim, vamos encontrar o n-ésimo termo (a_n) da sequência. Sabemos que o primeiro termo
e a razão
.
Aplicando a fórmula da P.A.:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Então, o n-ésimo termo da sequência é
.
Resposta
Os termos da soma formam uma Progressão Aritmética com razão
e o n-ésimo termo é dado por
.
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, se
é a região tal que
.
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onde
é o sólido limitado por
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