Determine se a sequência
converge ou diverge e se a série
converge ou diverge.
. (a sequência converge para 0 e a série converge para
.)
Passo 1
Vamos resolver um exercício onde precisamos determinar se uma sequência
converge ou diverge e, além disso, se a série
também converge ou diverge. A sequência dada é
. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre limites de sequências e critérios de convergência de séries, especialmente séries geométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a sequência
. Para saber se uma sequência converge, olhamos para o limite dela quando
tende ao infinito. Então, precisamos calcular:
Passo 3
Simplificando a expressão, temos:
O termo
é uma potência onde a base é
.
Passo 4
Observamos que a base
tem valor absoluto menor que 1, ou seja,
. Quando base de uma potência é menor que 1, a potência tende a 0 conforme
cresce. Portanto:
Isso significa que a sequência
converge para 0.
Passo 5
Agora, vamos analisar a série
. Observamos que esta é uma série geométrica, pois cada termo é uma progressão geométrica da forma
. Podemos reescrever a série como:
Passo 6
Para uma série geométrica
, ela converge se
e a soma é dada por
. No nosso caso, já vimos que
, então a série converge. Aplicando a fórmula da soma:
No entanto, como começamos a série a partir de
, precisamos ajustar o índice:
Passo 7
Reescrevendo a série a partir de
:
Resposta
A sequência
converge para
e a série
converge para
.