Determine se a sequência ann in N converge ou diverge e se a série sumn=1^infty an converge ou diverge. an=(-3)^n-14^n. (a sequência converge para 0 e a série converge para 17.)

Passo 1

Vamos resolver um exercício onde precisamos determinar se uma sequência an converge ou diverge e, além disso, se a série sumn=1^infty an também converge ou diverge. A sequência dada é an = (-3)^n-14^n. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre limites de sequências e critérios de convergência de séries, especialmente séries geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a sequência an. Para saber se uma sequência converge, olhamos para o limite dela quando n tende ao infinito. Então, precisamos calcular:
limn to infty an = limn to infty (-3)^n-14^n

Passo 3

Simplificando a expressão, temos:
(-3)^n-14^n = (-3)^n4^n cdot (-3) = 1-3 ( -34 )^n
O termo ( -34 )^n é uma potência onde a base é -34.

Passo 4

Observamos que a base -34 tem valor absoluto menor que 1, ou seja, |-34| = 0,75 < 1. Quando base de uma potência é menor que 1, a potência tende a 0 conforme n cresce. Portanto:
limn to infty an = 0
Isso significa que a sequência an converge para 0.

Passo 5

Agora, vamos analisar a série sumn=1^infty an. Observamos que esta é uma série geométrica, pois cada termo é uma progressão geométrica da forma an = (-3)^n-14^n. Podemos reescrever a série como:
sumn=1^infty (-3)^n-14^n = 1-3 sumn=1^infty ( -34 )^n

Passo 6

Para uma série geométrica sumn=0^infty ar^n, ela converge se |r| < 1 e a soma é dada por a1 - r. No nosso caso, já vimos que |r| = |-34| = 0,75 < 1, então a série converge. Aplicando a fórmula da soma:
sumn=1^infty (-3)^n-14^n = 1-3 cdot 11 - -34 = 1-3 cdot 174 = 1-3 cdot 47 = -421
No entanto, como começamos a série a partir de n=1, precisamos ajustar o índice:

Passo 7

Reescrevendo a série a partir de n=1:
sumn=1^infty (-3)^n-14^n = 14 sumn=0^infty ( -34 )^n = 14 cdot 11 - -34 = 14 cdot 47 = 17

Resposta

A sequência an converge para 0 e a série sumn=1^infty an converge para 17.

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