Determine se a sequência converge ou diverge e se a série converge ou diverge. . (a sequência converge para 0 e a série converge para .)

Passo 1

Vamos resolver um exercício onde precisamos determinar se uma sequência converge ou diverge e, além disso, se a série também converge ou diverge. A sequência dada é . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre limites de sequências e critérios de convergência de séries, especialmente séries geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a sequência . Para saber se uma sequência converge, olhamos para o limite dela quando tende ao infinito. Então, precisamos calcular:

Passo 3

Simplificando a expressão, temos:
O termo é uma potência onde a base é .

Passo 4

Observamos que a base tem valor absoluto menor que 1, ou seja, . Quando base de uma potência é menor que 1, a potência tende a 0 conforme cresce. Portanto:
Isso significa que a sequência converge para 0.

Passo 5

Agora, vamos analisar a série . Observamos que esta é uma série geométrica, pois cada termo é uma progressão geométrica da forma . Podemos reescrever a série como:

Passo 6

Para uma série geométrica , ela converge se e a soma é dada por . No nosso caso, já vimos que , então a série converge. Aplicando a fórmula da soma:
No entanto, como começamos a série a partir de , precisamos ajustar o índice:

Passo 7

Reescrevendo a série a partir de :

Resposta

A sequência converge para e a série converge para .

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B. -1
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E.