Calcular integral1^2 integraly^y^2 integral0^log x y e^z d z d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse integral triplo juntos! A questão pede para calcular . Aqui, estamos lidando com integrais múltiplas, especificamente integrais triplas. Para resolver, vamos integrar passo a passo: primeiro em relação a , depois a e, por fim, a .

Passo 2

Vamos começar integrando em relação a . A integral interna é . Como é constante em relação a , podemos tratá-lo como um fator constante durante essa integração.

Passo 3

Integrando integral0^log x y e^z , dz = y integral0^log x e^z , dz = y [ e^z ]0^log x = y (e^log x - e^0) = y (x - 1) em relação a :
Aqui, usamos a propriedade de que e .

Passo 4

Agora, vamos integrar o resultado integraly^y^2 y (x - 1) , dx = y [ x^22 - x ]y^y^2 = y ( ( (y^2)^22 - y^2 ) - ( y^22 - y ) ) em relação a = y ( y^42 - y^2 - y^22 + y ) = y ( y^42 - 3y^22 + y ) = y^52 - 3y^32 + y^2 , de a :
Simplificando:

Passo 5

Agora, integramos integral1^2 ( y^52 - 3y^32 + y^2 ) , dy = 12 cdot y^66 - 32 cdot y^44 + y^33 g|1^2 em relação a = ( 112 cdot 64 - 38 cdot 16 + 83 ) - ( 112 cdot 1 - 38 cdot 1 + 13 ) = 4724 , de 1 a 2:
Calculando nos limites:

Resposta

O valor do integral triplo é .

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