Calcular , se é a região tal que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral tripla , onde a região é definida por e .
Esse exercício está relacionado com cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais triplas em coordenadas cartesianas. Para resolver, vamos precisar entender como descrever a região e escolher a ordem de integração que facilita o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região . A condição nos mostra que para cada valor de , e estão dentro de um círculo com raio . E como vai de 0 até 3, isso significa que a região é como um cone parabólico que se estende até .

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral tripla. Estamos trabalhando em coordenadas cartesianas ( , , ), então os limites de integração são:
  • varia de 0 a 3.
  • Para um dado , e estão dentro do círculo .
Podemos expressar os limites de e em termos de :
  • varia de a .
  • Para cada , varia de a .

Passo 4

Agora, escrevemos a integral tripla com esses limites:
Vamos resolver a integral na ordem de , depois , e finalmente .

Passo 5

Primeiro, integramos em relação a . A função a ser integrada é , que é constante em relação a :

Passo 6

Agora temos:
Observamos que a função é ímpar em relação a (porque o está multiplicando uma função par). Quando integramos uma função ímpar de a , o resultado é zero. Portanto:

Passo 7

Assim, para cada no intervalo de 0 a 3, a integral interna em é zero. Portanto, a integral tripla inteira também será zero:

Resposta

O valor da integral tripla é .

Exercícios relacionados

A meia-vida do isótopo 88Ra226 é igual a 2310 anos. Depois de quanto tempo a atividade de uma amostra desse isótopo radioativo se reduz de da atividade radioativa inicial?
Calcular , se é a região limitada pela esfera e .
Calcular
Considere a soma seguinte
a) Verificar que as parcelas desta soma são de uma P.A, identifique a razão e o n-ésimo termo.