Calcular
, se
é a região tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral tripla
, onde a região
é definida por
e
.
Esse exercício está relacionado com cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais triplas em coordenadas cartesianas. Para resolver, vamos precisar entender como descrever a região
e escolher a ordem de integração que facilita o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região
. A condição
nos mostra que para cada valor de
,
e
estão dentro de um círculo com raio
. E como
vai de 0 até 3, isso significa que a região
é como um cone parabólico que se estende até
.
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral tripla. Estamos trabalhando em coordenadas cartesianas (
,
,
), então os limites de integração são:
-
varia de 0 a 3. - Para um dado
, e estão dentro do círculo .
Podemos expressar os limites de
e
em termos de
:
-
varia de a . - Para cada
, varia de a .
Passo 4
Agora, escrevemos a integral tripla com esses limites:
Vamos resolver a integral na ordem de
, depois
, e finalmente
.
Passo 5
Primeiro, integramos em relação a
. A função a ser integrada é
, que é constante em relação a
:
Passo 6
Agora temos:
Observamos que a função
é ímpar em relação a
(porque o
está multiplicando uma função par). Quando integramos uma função ímpar de
a
, o resultado é zero. Portanto:
Passo 7
Assim, para cada
no intervalo de 0 a 3, a integral interna em
é zero. Portanto, a integral tripla inteira também será zero:
Resposta
O valor da integral tripla
é
.
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da atividade radioativa inicial?
Calcular
, se
é a região limitada pela esfera
e
.
Calcular
Considere a soma seguinte
a) Verificar que as parcelas desta soma são de uma P.A, identifique a razão e o n-ésimo termo.