Calcular integral triplaR x d x d y d z, se R é a região tal que 0 <= z <= 3, x^2+y^2 <= z.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral tripla , onde a região é definida por e .
Esse exercício está relacionado com cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais triplas em coordenadas cartesianas. Para resolver, vamos precisar entender como descrever a região e escolher a ordem de integração que facilita o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região . A condição nos mostra que para cada valor de , e estão dentro de um círculo com raio . E como vai de 0 até 3, isso significa que a região é como um cone parabólico que se estende até .

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral tripla. Estamos trabalhando em coordenadas cartesianas ( , , ), então os limites de integração são:
  • varia de 0 a 3.
  • Para um dado , e estão dentro do círculo .
Podemos expressar os limites de e em termos de :
  • varia de a .
  • Para cada , varia de a .

Passo 4

Agora, escrevemos a integral tripla com esses limites:
integral triplaR x ,dx,dy,dz = integral0^3 integral-raizz^raizz integral-raizz - x^2^raizz - x^2 x ,dy,dx,dz
Vamos resolver a integral na ordem de , depois , e finalmente .

Passo 5

Primeiro, integramos em relação a integral-raizz - x^2^raizz - x^2 x ,dy = x [ y ]-raizz - x^2^raizz - x^2 = x ( raizz - x^2 - (-raizz - x^2) ) = 2x raizz - x^2 . A função a ser integrada é , que é constante em relação a :

Passo 6

Agora temos:
integral0^3 integral-raizz^raizz 2x raizz - x^2 ,dx,dz
Observamos que a função integral-raizz^raizz 2x raizz - x^2 ,dx = 0 é ímpar em relação a (porque o está multiplicando uma função par). Quando integramos uma função ímpar de a , o resultado é zero. Portanto:

Passo 7

Assim, para cada integral triplaR x ,dx,dy,dz = integral0^3 0 ,dz = 0 no intervalo de 0 a 3, a integral interna em é zero. Portanto, a integral tripla inteira também será zero:

Resposta

O valor da integral tripla é .

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