Determinar se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se convergente, calcule-a.
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Passo 1
Ok, vamos lá! A gente tem que analisar a integral imprópria
. Esse tipo de integral é chamado de impróprio porque a função pode ter comportamentos estranhos nos limites de integração, como divisões por zero ou infinitos. Aqui, vamos precisar usar cálculo integral, especificamente técnicas de substituição e análise de limites para determinar se a integral converge (tem um valor finito) ou diverge (vai para o infinito).
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se há algum ponto no intervalo
onde a função
possa ter problemas. Observamos que quando
, o denominador
, o que nos faz ter uma divisão por zero. Isso significa que a integral é imprópria nesse ponto.
Passo 3
Para lidar com essa integral imprópria, vamos reescrevê-la usando um limite. Em vez de integrar diretamente de 1 a 2, vamos integrar de um valor próximo a 1, digamos
, onde
tende a 0. Assim, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral
. Para isso, fazemos uma substituição. Seja
. Então, a derivada de
em relação a
é
, o que nos permite substituir
por
.
Substituindo na integral:
Passo 5
Agora, vamos integrar
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Voltando à nossa substituição original (
), temos que:
Então, a integral definida fica:
Passo 7
Vamos analisar o limite quando
tende a 0:
- Sabemos que
é uma constante finita. - Para
, quando se aproxima de 0, . Então, , que cresce sem limites conforme se aproxima de 0.
Portanto, o termo
tende ao infinito.
Resposta
A integral imprópria
diverge, ou seja, não possui um valor finito.
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Calcular
, se
é a região limitada pelo paraboloide hiperbólico
e os planos
.
Calcular
sendo
o sólido definido pelas desigualdades
.
Calcular
, se
é a região limitada pelas superfícies
.
Determinar se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se convergente, calcule-a.
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