Determinar se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se convergente, calcule-a.
k)

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente tem que analisar a integral imprópria . Esse tipo de integral é chamado de impróprio porque a função pode ter comportamentos estranhos nos limites de integração, como divisões por zero ou infinitos. Aqui, vamos precisar usar cálculo integral, especificamente técnicas de substituição e análise de limites para determinar se a integral converge (tem um valor finito) ou diverge (vai para o infinito).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se há algum ponto no intervalo onde a função possa ter problemas. Observamos que quando , o denominador , o que nos faz ter uma divisão por zero. Isso significa que a integral é imprópria nesse ponto.

Passo 3

Para lidar com essa integral imprópria, vamos reescrevê-la usando um limite. Em vez de integrar diretamente de 1 a 2, vamos integrar de um valor próximo a 1, digamos , onde tende a 0. Assim, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral . Para isso, fazemos uma substituição. Seja . Então, a derivada de em relação a é , o que nos permite substituir por .
Substituindo na integral:

Passo 5

Agora, vamos integrar :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Voltando à nossa substituição original ( ), temos que:
Então, a integral definida fica:

Passo 7

Vamos analisar o limite quando tende a 0:
  • Sabemos que é uma constante finita.
  • Para , quando se aproxima de 0, . Então, , que cresce sem limites conforme se aproxima de 0.
Portanto, o termo tende ao infinito.

Resposta

A integral imprópria diverge, ou seja, não possui um valor finito.

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g)