Calcular , se é a região limitada pelo paraboloide hiperbólico e os planos .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla . A região é limitada pelo paraboloide hiperbólico e pelos planos , , e . Vamos usar cálculo multivariable, especificamente integração em múltiplas variáveis, para resolver isso. Precisamos entender bem os limites de integração para definir nossa região e depois calcular a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . Sabemos que define um paraboloide hiperbólico. Os planos que limitam essa região são , , e . Como , isso significa que estamos considerando apenas a parte do paraboloide onde . Ou seja, tanto quanto são positivos ou ambos negativos, mas como , vamos considerar e positivas.

Passo 3

Vamos achar os limites de integração para , e . Primeiro, observamos que:
  • No plano , temos o eixo .
  • O plano define uma linha no plano onde a soma de e é igual a 1.
Então, para e , os limites são:
  • varia de 0 a 1.
  • Para cada , varia de 0 a .
Para , para cada ponto , varia de 0 até .

Passo 4

Agora que temos os limites, podemos escrever a integral tripla como uma integral iterada:
Vamos resolver essa integral passo a passo, começando pela integral mais interna em relação a .

Passo 5

Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral se simplifica para:

Passo 6

Agora, integramos em relação a :
Agora, nossa integral se reduz a:

Passo 7

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 8

Agora, integramos termo a termo:
Substituindo os limites:

Passo 9

Vamos calcular as frações dentro dos parênteses:
Multiplicando por :

Resposta

O valor da integral tripla é .

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