Calcular integral triplaR x y d x d y d z, se R é a região limitada pelo paraboloide hiperbólico z=x y e os planos x+y=1, z=0, z >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla integral triplaR x y , dx , dy , dz. A região R é limitada pelo paraboloide hiperbólico z = xy e pelos planos x + y = 1, z = 0, e z >= 0. Vamos usar cálculo multivariable, especificamente integração em múltiplas variáveis, para resolver isso. Precisamos entender bem os limites de integração para definir nossa região R e depois calcular a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região R. Sabemos que z = xy define um paraboloide hiperbólico. Os planos que limitam essa região são x + y = 1, z = 0, e z >= 0. Como z >= 0, isso significa que estamos considerando apenas a parte do paraboloide onde xy >= 0. Ou seja, tanto x quanto y são positivos ou ambos negativos, mas como x + y = 1, vamos considerar x e y positivas.

Passo 3

Vamos achar os limites de integração para x, y e z. Primeiro, observamos que:
  • No plano z = 0, temos o eixo xy.
  • O plano x + y = 1 define uma linha no plano xy onde a soma de x e y é igual a 1.
Então, para x e y, os limites são:
  • x varia de 0 a 1.
  • Para cada x, y varia de 0 a 1 - x.
Para z, para cada ponto (x, y), z varia de 0 até xy.

Passo 4

Agora que temos os limites, podemos escrever a integral tripla como uma integral iterada:
integralx=0^1 integraly=0^1 - x integralz=0^xy x y , dz , dy , dx
Vamos resolver essa integral passo a passo, começando pela integral mais interna em relação a z.

Passo 5

Primeiro, integramos em relação a z:
integralz=0^xy x y , dz = x y integral0^xy dz = x y [z]0^xy = x y (xy - 0) = x^2 y^2
Então, a integral se simplifica para:
integral0^1 integral0^1 - x x^2 y^2 , dy , dx

Passo 6

Agora, integramos em relação a y:
integral0^1 - x x^2 y^2 , dy = x^2 integral0^1 - x y^2 , dy = x^2 [ y^33 ]0^1 - x = x^2 ( (1 - x)^33 - 0 ) = x^2 (1 - x)^33
Agora, nossa integral se reduz a:
13 integral0^1 x^2 (1 - x)^3 , dx

Passo 7

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
x^2 (1 - x)^3 = x^2 (1 - 3x + 3x^2 - x^3) = x^2 - 3x^3 + 3x^4 - x^5
Então, a integral fica:
13 integral0^1 (x^2 - 3x^3 + 3x^4 - x^5) , dx

Passo 8

Agora, integramos termo a termo:
13 [ x^33 - 3x^44 + 3x^55 - x^66 ]0^1
Substituindo os limites:
13 ( 1^33 - 3 cdot 1^44 + 3 cdot 1^55 - 1^66 ) - 13 ( 0 - 0 + 0 - 0 ) = 13 ( 13 - 34 + 35 - 16 )

Passo 9

Vamos calcular as frações dentro dos parênteses:
13 - 34 + 35 - 16 = 2060 - 4560 + 3660 - 1060 = 20 - 45 + 36 - 1060 = 160
Multiplicando por 13:
13 cdot 160 = 1180

Resposta

O valor da integral tripla é 1180.

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