Calcular
, se
é a região limitada pelo paraboloide hiperbólico
e os planos
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla
. A região
é limitada pelo paraboloide hiperbólico
e pelos planos
,
, e
. Vamos usar cálculo multivariable, especificamente integração em múltiplas variáveis, para resolver isso. Precisamos entender bem os limites de integração para definir nossa região
e depois calcular a integral passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. Sabemos que
define um paraboloide hiperbólico. Os planos que limitam essa região são
,
, e
. Como
, isso significa que estamos considerando apenas a parte do paraboloide onde
. Ou seja, tanto
quanto
são positivos ou ambos negativos, mas como
, vamos considerar
e
positivas.
Passo 3
Vamos achar os limites de integração para
,
e
. Primeiro, observamos que:
- No plano
, temos o eixo . - O plano
define uma linha no plano onde a soma de e é igual a 1.
Então, para
e
, os limites são:
-
varia de 0 a 1. - Para cada
, varia de 0 a .
Para
, para cada ponto
,
varia de 0 até
.
Passo 4
Agora que temos os limites, podemos escrever a integral tripla como uma integral iterada:
Vamos resolver essa integral passo a passo, começando pela integral mais interna em relação a
.
Passo 5
Primeiro, integramos em relação a
:
Então, a integral se simplifica para:
Passo 6
Agora, integramos em relação a
:
Agora, nossa integral se reduz a:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, integramos termo a termo:
Substituindo os limites:
Passo 9
Vamos calcular as frações dentro dos parênteses:
Multiplicando por
:
Resposta
O valor da integral tripla é
.
Exercícios relacionados
Calcular
sendo
o sólido definido pelas desigualdades
.
Considere a soma seguinte
b) Substitua cada uma das parcelas pelo termo correspondente da P.A. (por exemplo
+2.1) . Substitua todos estes novos formatos na soma. Com este procedimento fica fácil você transformar a soma como uma notação de somatória.
Determinar se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se convergente, calcule-a.
k)
k)
Calcular
, se
é a região limitada pelas superfícies
.