Calcular
integral triplaR^3 e^-x^2-y^2-z^2 d x wed>= d y wed>= d z

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral tripla:
integral triplaR^3 e^-x^2-y^2-z^2 , dx , dy , dz
Isso envolve cálculo de integrais múltiplas, especificamente sobre todo o espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender como separar essa integral em partes mais simples e usar propriedades das integrais de funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos notar que a função dentro da integral, e^-x^2-y^2-z^2 = e^-x^2 cdot e^-y^2 cdot e^-z^2 , pode ser escrita como o produto de três funções exponenciais independentes:
integral triplaR^3 e^-x^2 e^-y^2 e^-z^2 , dx , dy , dz = ( integral-infty^infty e^-x^2 , dx ) cdot ( integral-infty^infty e^-y^2 , dy ) cdot ( integral-infty^infty e^-z^2 , dz )
Isso significa que a integral tripla pode ser separada em três integrais simples:

Passo 3

Agora, vamos focar em calcular uma dessas integrais simples, por exemplo:
integral-infty^infty e^-x^2 , dx
Essa é uma integral bem conhecida na matemática e seu valor é . Isso vem da propriedade da função gaussiana, que é fundamental em várias áreas, como estatística e física.

Passo 4

Já que cada uma das três integrais é igual a ( raizpi ) cdot ( raizpi ) cdot ( raizpi ) = pi^3/2 , basta multiplicar esses valores para obter o resultado da integral tripla:

Resposta

O valor da integral tripla é .

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