Dado um campo vetorial contínuo
F: U subset R^2 -> R^2, F(x, y) = (F1(x, y), F2(x, y))
uma curva diferenciável
alpha(t) = (x(t), y(t)), t em [a, b]
tais que
F(α(t)) = α'(t), ∀ t ∈ [a, b]
é chamada de uma curva integral do campo F(x, y). Também chamamos de uma linha de ação ou uma linha de fluxo do campo F.
Determinar a família de curvas integrais de cada campo vetorial seguinte, identificando a categoria geométrica delas e fazendo um esboço da família de soluções:
(d) F(x, y) = (y, x) para todo (x, y) em R^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos todas as curvas que são “linhas de fluxo” do campo vetorial . Isso está no contexto de Campo Vetorial e Equações Diferenciais, mais especificamente, vamos trabalhar com curvas integrais que seguem o fluxo definido por . Para resolver isso, vamos precisar igualar o campo vetorial à derivada da curva e resolver a equação diferencial resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação que relaciona o campo vetorial com a derivada da curva . Segundo a definição, temos:
Substituindo e , temos:
Isso nos dá um sistema de equações:

Passo 3

Agora, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais. Observamos que as derivadas de e estão relacionadas de forma cruzada. Podemos derivar a primeira equação em relação a :
Mas sabemos que , então:
Isso nos leva a uma equação diferencial comum:
A solução geral dessa equação é:
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 4

Com , podemos encontrar usando a primeira equação do sistema:
Agora temos as expressões paramétricas para e .

Passo 5

Para eliminar o parâmetro e achar a relação entre e , podemos somar e subtrair as expressões de e :
Somando:
Subtraindo:
Multiplicando essas duas equações, obtemos:
Denotando , temos a equação geral das curvas integrais:

Passo 6

A equação representa uma família de hipérboles no plano . Cada valor de gera uma hipérbole diferente. Se , a hipérbole abre na direção , e se , abre na direção . Para , temos as retas e .

Resposta

As curvas integrais do campo vetorial são todas as hipérboles da forma , onde é uma constante real. Geometricamente, elas formam uma família de hipérboles que abrem ao longo dos eixos e , dependendo do valor de . O esboço inclui todas essas hipérboles para diferentes valores de .

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