Dado um campo vetorial contínuo
uma curva diferenciável
tais que
é chamada de uma curva integral do campo
. Também chamamos de uma linha de ação ou uma linha de fluxo do campo
.
Determinar a família de curvas integrais de cada campo vetorial seguinte, identificando a categoria geométrica delas e fazendo um esboço da família de soluções:
(d)
.
Determinar a família de curvas integrais de cada campo vetorial seguinte, identificando a categoria geométrica delas e fazendo um esboço da família de soluções:
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos todas as curvas que são “linhas de fluxo” do campo vetorial
. Isso está no contexto de Campo Vetorial e Equações Diferenciais, mais especificamente, vamos trabalhar com curvas integrais que seguem o fluxo definido por
. Para resolver isso, vamos precisar igualar o campo vetorial à derivada da curva e resolver a equação diferencial resultante.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação que relaciona o campo vetorial
com a derivada da curva
. Segundo a definição, temos:
Substituindo
e
, temos:
Isso nos dá um sistema de equações:
Passo 3
Agora, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais. Observamos que as derivadas de
e
estão relacionadas de forma cruzada. Podemos derivar a primeira equação em relação a
:
Mas sabemos que
, então:
Isso nos leva a uma equação diferencial comum:
A solução geral dessa equação é:
Onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 4
Com
, podemos encontrar
usando a primeira equação do sistema:
Agora temos as expressões paramétricas para
e
.
Passo 5
Para eliminar o parâmetro
e achar a relação entre
e
, podemos somar e subtrair as expressões de
e
:
Somando:
Subtraindo:
Multiplicando essas duas equações, obtemos:
Denotando
, temos a equação geral das curvas integrais:
Passo 6
A equação
representa uma família de hipérboles no plano
. Cada valor de
gera uma hipérbole diferente. Se
, a hipérbole abre na direção
, e se
, abre na direção
. Para
, temos as retas
e
.
Resposta
As curvas integrais do campo vetorial
são todas as hipérboles da forma
, onde
é uma constante real. Geometricamente, elas formam uma família de hipérboles que abrem ao longo dos eixos
e
, dependendo do valor de
. O esboço inclui todas essas hipérboles para diferentes valores de
.