Determine d²y/dx² se 2 x^3 - 3 y^2 = 8.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a segunda derivada de em relação a , dado que . Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente derivadas implícitas, porque está definido em função de de forma implícita na equação.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada . Para isso, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a .
Derivando em relação a , temos:
Derivando em relação a , usamos a regra da cadeia:
Derivando o lado direito, que é 8, a derivada é 0.
Então, colocando tudo junto:

Passo 3

Agora, resolvemos para :

Passo 4

Temos a primeira derivada. Agora, vamos para a segunda derivada . Para isso, vamos derivar em relação a :

Passo 5

Usamos a regra do quociente para derivar :

Passo 6

Simplificando a expressão:

Passo 7

Então, a segunda derivada de em relação a é:

Resposta

A segunda derivada de em relação a é:

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