Calcular o volume da região limitada pela superfície .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o volume da região limitada pela superfície definida pela equação . A matéria envolvida aqui é cálculo de volumes usando coordenadas esféricas, que é super útil quando a forma do objeto tem simetria esférica. Vamos precisar entender como converter equações para coordenadas esféricas e montar a integral adequada para calcular o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação dada: . Sabemos que em coordenadas cartesianas, , onde é a distância do ponto à origem. Então, podemos reescrever a equação como , ou seja, .

Passo 3

Para facilitar o cálculo do volume, vamos converter essa equação para coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, temos:
Substituindo na equação , ficamos com:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por (considerando ):

Passo 4

Agora, vamos expressar o volume em coordenadas esféricas. O elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por . Precisamos determinar os limites de integração para , e .
Da equação , temos que varia de a . Os ângulos e variam conforme a região definida pela superfície.

Passo 5

Para simplificar, vamos observar que a região é simétrica em torno do eixo positivo de , já que a equação envolve . Então, podemos integrar de a e de a . Assim, a integral para o volume fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral em primeiro:

Passo 7

Substituindo de volta na integral, temos:

Passo 8

Integrando em primeiro:
Isso significa que o volume total é zero, o que indica que a região definida pela superfície é simétrica e as partes positivas e negativas do volume se cancelam.

Resposta

O volume da região limitada pela superfície é igual a zero devido à simetria da superfície em torno do eixo , resultando no cancelamento das partes positivas e negativas do volume.

Exercícios relacionados

Um radioisótopo utilizado no tratamento radioterápico apresenta uma meia-vida (período de semidesintegração) de 5 horas. Se um técnico utilizar uma massa de 50 g no tratamento de um paciente, após quantas horas a massa seria reduzida para 6,25 g?
Calcular
Resolva a equação:
Calcular , se é a região limitada pelo cilindro .