Calcular o volume da região limitada pela superfície .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o volume da região limitada pela superfície definida pela equação . A matéria envolvida aqui é cálculo de volumes usando coordenadas esféricas, que é super útil quando a forma do objeto tem simetria esférica. Vamos precisar entender como converter equações para coordenadas esféricas e montar a integral adequada para calcular o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação dada: . Sabemos que em coordenadas cartesianas, , onde é a distância do ponto à origem. Então, podemos reescrever a equação como , ou seja, .
Passo 3
Para facilitar o cálculo do volume, vamos converter essa equação para coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, temos:
Substituindo x na equação , ficamos com:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por r (considerando ):
Passo 4
Agora, vamos expressar o volume em coordenadas esféricas. O elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por . Precisamos determinar os limites de integração para r, phi e theta.
Da equação , temos que r varia de 0 a . Os ângulos phi e theta variam conforme a região definida pela superfície.
Passo 5
Para simplificar, vamos observar que a região é simétrica em torno do eixo positivo de x, já que a equação envolve x. Então, podemos integrar theta de 0 a e phi de 0 a pi. Assim, a integral para o volume fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral em r primeiro:
Passo 7
Substituindo de volta na integral, temos:
Passo 8
Integrando em theta primeiro:
Isso significa que o volume total é zero, o que indica que a região definida pela superfície é simétrica e as partes positivas e negativas do volume se cancelam.
Resposta
O volume da região limitada pela superfície (x^2 + y^2 + z^2)^2 = a^3 * x é igual a zero devido à simetria da superfície em torno do eixo x, resultando no cancelamento das partes positivas e negativas do volume.