Calcular o volume da região limitada pela superfície (x^2 + y^2 + z^2)^2 = a^3 * x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o volume da região limitada pela superfície definida pela equação (x^2 + y^2 + z^2)^2 = a^3 * x. A matéria envolvida aqui é cálculo de volumes usando coordenadas esféricas, que é super útil quando a forma do objeto tem simetria esférica. Vamos precisar entender como converter equações para coordenadas esféricas e montar a integral adequada para calcular o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação dada: (x^2 + y^2 + z^2)^2 = a^3 * x. Sabemos que em coordenadas cartesianas, x^2 + y^2 + z^2 = r^2, onde r é a distância do ponto à origem. Então, podemos reescrever a equação como , ou seja, .

Passo 3

Para facilitar o cálculo do volume, vamos converter essa equação para coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, temos:
Substituindo x na equação , ficamos com:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por r (considerando ):

Passo 4

Agora, vamos expressar o volume em coordenadas esféricas. O elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por . Precisamos determinar os limites de integração para r, phi e theta.
Da equação , temos que r varia de 0 a . Os ângulos phi e theta variam conforme a região definida pela superfície.

Passo 5

Para simplificar, vamos observar que a região é simétrica em torno do eixo positivo de x, já que a equação envolve x. Então, podemos integrar theta de 0 a e phi de 0 a pi. Assim, a integral para o volume fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral em r primeiro:

Passo 7

Substituindo de volta na integral, temos:

Passo 8

Integrando em theta primeiro:
Isso significa que o volume total é zero, o que indica que a região definida pela superfície é simétrica e as partes positivas e negativas do volume se cancelam.

Resposta

O volume da região limitada pela superfície (x^2 + y^2 + z^2)^2 = a^3 * x é igual a zero devido à simetria da superfície em torno do eixo x, resultando no cancelamento das partes positivas e negativas do volume.

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