Calcular
Onde T é a região delimitada pelo plano
, pelo paraboloide
e pelo cilindro
.
Resp.:
Resp.:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral! A gente precisa calcular a integral tripla:
Aqui,
é a região limitada pelo plano
, pelo paraboloide
e pelo cilindro
. Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são super úteis quando temos simetria circular, como nesse caso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são coordenadas cilíndricas. Nesse sistema, a gente usa
para a distância ao eixo
,
para o ângulo, e
mesmo para a altura. As relações são:
E o elemento de volume
vira
.
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de integração. A região
é limitada pelo plano
(onde
), pelo paraboloide
, e pelo cilindro
(já que
dá
).
Então:
-
varia de 0 a 2. -
varia de 0 a (cobrindo toda a volta). -
varia de 0 a .
Passo 4
Vamos reescrever a integral em coordenadas cilíndricas:
Aqui,
e multiplicamos por
por causa do elemento de volume.
Passo 5
Vamos integrar em relação a
primeiro:
Então a integral fica:
Passo 6
Agora, integramos em relação a
:
Então a integral fica:
Resposta
A integral vale
.
Exercícios relacionados
Represente graficamente o domínio da função
dada por
Calcular
Onde T é a porção da esfera
que está dentro do cilindro
. Resp.
Use coordenadas polares para calcular a
sendo R a região delimitada
(Valor 4,0 ). Calcule as integrais abaixo.
(a)
(a)