Calcular
Onde T é a região delimitada pelo plano , pelo paraboloide e pelo cilindro .
Resp.:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral! A gente precisa calcular a integral tripla:
Aqui, é a região limitada pelo plano , pelo paraboloide e pelo cilindro . Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são super úteis quando temos simetria circular, como nesse caso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são coordenadas cilíndricas. Nesse sistema, a gente usa para a distância ao eixo , para o ângulo, e mesmo para a altura. As relações são:
E o elemento de volume vira .

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração. A região é limitada pelo plano (onde ), pelo paraboloide , e pelo cilindro (já que ).
Então:
  • varia de 0 a 2.
  • varia de 0 a (cobrindo toda a volta).
  • varia de 0 a .

Passo 4

Vamos reescrever a integral em coordenadas cilíndricas:
Aqui, e multiplicamos por por causa do elemento de volume.

Passo 5

Vamos integrar em relação a primeiro:
Então a integral fica:

Passo 6

Agora, integramos em relação a :
Então a integral fica:

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados

Represente graficamente o domínio da função dada por
Calcular
Onde T é a porção da esfera que está dentro do cilindro . Resp.
Use coordenadas polares para calcular a sendo R a região delimitada
(Valor 4,0 ). Calcule as integrais abaixo.
(a)