Calcular
I=integral triplaT(x^2+y^2) d V
Onde T é a região delimitada pelo plano x y, pelo paraboloide z=x^2+y^2 e pelo cilindro x^2+y^2=4.
Resp.: 16 pi3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral! A gente precisa calcular a integral tripla:
I = integral triplaT(x^2 + y^2) , dV
Aqui, é a região limitada pelo plano , pelo paraboloide e pelo cilindro . Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são super úteis quando temos simetria circular, como nesse caso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são coordenadas cilíndricas. Nesse sistema, a gente usa x = r cos theta, y = r sin theta, z = z para a distância ao eixo , para o ângulo, e mesmo para a altura. As relações são:
E o elemento de volume vira .

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração. A região é limitada pelo plano (onde ), pelo paraboloide , e pelo cilindro (já que ).
Então:
  • varia de 0 a 2.
  • varia de 0 a (cobrindo toda a volta).
  • varia de 0 a .

Passo 4

Vamos reescrever a integral em coordenadas cilíndricas:
I = integral0^2pi integral0^2 integral0^r^2 (r^2) cdot r , dz , dr , dtheta
Aqui, e multiplicamos por por causa do elemento de volume.

Passo 5

Vamos integrar em relação a integral0^r^2 dz = r^2 primeiro:
I = integral0^2pi integral0^2 r^2 cdot r^2 , dr , dtheta = integral0^2pi integral0^2 r^4 , dr , dtheta
Então a integral fica:

Passo 6

Agora, integramos em relação a integral0^2 r^4 , dr = [ r^55 ]0^2 = 325 :
I = integral0^2pi 325 , dtheta = 325 cdot 2pi = 64pi5
Então a integral fica:

Resposta

A integral vale .

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