Use coordenadas polares para calcular a
sendo R a região delimitada
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral dupla
usando coordenadas polares. A região
é delimitada pela equação
, onde
. Basicamente, vamos precisar usar coordenadas polares para simplificar a integração sobre essa região.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação da região
. A equação
pode ser reescrita completando o quadrado:
Isso representa um círculo de raio
centrado em
.
Passo 3
Agora, vamos mudar para coordenadas polares. Lembrando que:
Substituindo
e
na equação do círculo:
Passo 4
Simplificando a equação:
Assim,
ou
. A solução
é apenas o ponto central, então a região é definida por
.
Passo 5
Agora, determinamos os limites para
. Como
deve ser positivo e
, temos que
.
Passo 6
Agora, reescrevemos a integral na forma polar:
Passo 7
Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, realizamos a substituição
, então
. Quando
,
; e quando
,
. A integral se transforma em:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Calcular
Onde T é a região delimitada pelo plano
, pelo paraboloide
e pelo cilindro
.
Resp.:
Resp.:
Represente graficamente o domínio da função
dada por
(Valor 4,0 ). Calcule as integrais abaixo.
(a)
(a)
(Valor 4,0 ). Calcule as integrais abaixo.
(b)
(b)