Use coordenadas polares para calcular a sendo R a região delimitada

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral dupla usando coordenadas polares. A região é delimitada pela equação , onde . Basicamente, vamos precisar usar coordenadas polares para simplificar a integração sobre essa região.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação da região . A equação pode ser reescrita completando o quadrado:
Isso representa um círculo de raio centrado em .

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas polares. Lembrando que:
Substituindo e na equação do círculo:

Passo 4

Simplificando a equação:
Assim, ou . A solução é apenas o ponto central, então a região é definida por .

Passo 5

Agora, determinamos os limites para . Como deve ser positivo e , temos que .

Passo 6

Agora, reescrevemos a integral na forma polar:

Passo 7

Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 8

Agora, realizamos a substituição , então . Quando , ; e quando , . A integral se transforma em:

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados

Calcular
Onde T é a região delimitada pelo plano , pelo paraboloide e pelo cilindro .
Resp.:
Represente graficamente o domínio da função dada por
(Valor 4,0 ). Calcule as integrais abaixo.
(a)
(Valor 4,0 ). Calcule as integrais abaixo.
(b)