Use coordenadas polares para calcular a I=integral duplaR y d x d y sendo R a região delimitada x^2+y^2-a x=0, a>0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral dupla usando coordenadas polares. A região é delimitada pela equação , onde . Basicamente, vamos precisar usar coordenadas polares para simplificar a integração sobre essa região.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação da região x^2 - a x + y^2 = 0 (x - a2)^2 + y^2 = (a2)^2 . A equação pode ser reescrita completando o quadrado:
Isso representa um círculo de raio centrado em .

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas polares. Lembrando que:
x = r cos theta y = r sin theta dx , dy = r , dr , dtheta
Substituindo (r cos theta - a2)^2 + (r sin theta)^2 = (a2)^2 e na equação do círculo:

Passo 4

Simplificando a equação:
r^2 cos^2 theta - a r cos theta + a^24 + r^2 sin^2 theta = a^24 r^2 (cos^2 theta + sin^2 theta) - a r cos theta = 0 r^2 - a r cos theta = 0 r (r - a cos theta) = 0
Assim, ou . A solução é apenas o ponto central, então a região é definida por .

Passo 5

Agora, determinamos os limites para . Como deve ser positivo e , temos que .

Passo 6

Agora, reescrevemos a integral na forma polar:
I = integral duplaR y , dx , dy = integral-pi2^pi2 integral0^a cos theta (r sin theta) cdot r , dr , dtheta = integral-pi2^pi2 integral0^a cos theta r^2 sin theta , dr , dtheta

Passo 7

Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a integral0^a cos theta r^2 , dr = [ r^33 ]0^a cos theta = (a cos theta)^33 :
I = integral-pi2^pi2 a^3 cos^3 theta3 sin theta , dtheta = a^33 integral-pi2^pi2 cos^3 theta sin theta , dtheta
Então, a integral fica:

Passo 8

Agora, realizamos a substituição I = a^33 integral0^0 u^3 (-du) = a^33 cdot 0 = 0 , então . Quando , ; e quando , . A integral se transforma em:

Resposta

O valor da integral é .

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