Encontre o trabalho realizado por F sobre a curva da direção de t.
F = (x y) i + (y) j - (y z) k, r(t) = (t) i + (t^2) j + (t) k, 0 <= t <= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o trabalho realizado por um campo de forças ao longo de uma curva definida por . Isso está relacionado ao estudo de Cálculo Vetorial, mais especificamente ao cálculo de trabalho em campos vetoriais. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar o campo ao longo da curva e integrar o produto escalar entre e a derivada de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada parte do exercício representa. O campo de forças é dado por:
E a curva está parametrizada por:
Nosso objetivo é calcular o trabalho realizado por ao longo dessa curva.

Passo 3

Para calcular o trabalho, usamos a fórmula:
Aqui, é a derivada de em relação a , e o ponto entre e representa o produto escalar.

Passo 4

Vamos encontrar a derivada de :
Derivando componente por componente:

Passo 5

Agora, vamos substituir nas componentes de :
Substituindo , , e :

Passo 6

Agora, calculamos o produto escalar :

Passo 7

Finalmente, integramos de a :
Calculando a integral:

Resposta

O trabalho realizado por sobre a curva na direção de é unidades de trabalho.

Exercícios relacionados

Usando coordenadas cilíndricas, calcule I=integral triplaT(x^2+y^2) d V onde T é a região delimitada inferiormente pelo plano x y, superiormente pelo paraboloide z=x^2+y^2 e lateralmente pelo cilindro x^2+y^2=2.
Dada f(x, y) = raiz terceira(x^3 + y^3), use a definican para calcular f_y(0,0);
Encontre o escoamento realizado por F sobre a curva da direção de t.
F = (-4 x y) i + (8 y) j - 2 k, r(t) = t i + (t^2) j + k, 0 <= t <= 1
Calcular integral triplaT(x^2+y^2) d V, onde T é a região limitada superiormente pela esfera x^2+y^2+z^2=9 e inferiormente pelo cone z=raizx^2+y^2.