Encontre o trabalho realizado por
sobre a curva da direção de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o trabalho realizado por um campo de forças
ao longo de uma curva definida por
. Isso está relacionado ao estudo de Cálculo Vetorial, mais especificamente ao cálculo de trabalho em campos vetoriais. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar o campo
ao longo da curva
e integrar o produto escalar entre
e a derivada de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada parte do exercício representa. O campo de forças é dado por:
E a curva está parametrizada por:
Nosso objetivo é calcular o trabalho
realizado por
ao longo dessa curva.
Passo 3
Para calcular o trabalho, usamos a fórmula:
Aqui,
é a derivada de
em relação a
, e o ponto entre
e
representa o produto escalar.
Passo 4
Vamos encontrar a derivada de
:
Derivando componente por componente:
Passo 5
Agora, vamos substituir
nas componentes de
:
Substituindo
,
, e
:
Passo 6
Agora, calculamos o produto escalar
:
Passo 7
Finalmente, integramos
de
a
:
Calculando a integral:
Resposta
O trabalho realizado por
sobre a curva na direção de
é
unidades de trabalho.
Exercícios relacionados
Usando coordenadas cilíndricas, calcule
onde
é a região delimitada inferiormente pelo plano
, superiormente pelo paraboloide
e lateralmente pelo cilindro
.
Dada
, use a definican para calcular
;
Encontre o escoamento realizado por
sobre a curva da direção de
.
Calcular
, onde
é a região limitada superiormente pela esfera
e inferiormente pelo cone
.