Considere z=f(x, y) e a função dada de forma implicita por: x y+y^3 z^2=z raizx. Calcule partial zpartial x usando o teorema da função implicita. Jostifique sua resposta com os cálculos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação x y + y^3 z^2 = z raizx e precisamos achar a derivada parcial de z em relação a x, ou seja, partial zpartial x. Isso envolve o teorema da função implícita, que nos ajuda a encontrar derivadas quando temos equações onde as variáveis estão todas misturadas. Vamos precisar usar diferenciação implícita para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar tudo igual a zero, facilitando a diferenciação:
x y + y^3 z^2 - z raizx = 0
Isso vai nos ajudar a aplicar a diferenciação implícita corretamente.

Passo 3

Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a x. Lembre-se que y é considerada constante aqui, já que estamos fazendo uma derivada parcial em relação a x. Então, temos:
ddx(x y) + ddx(y^3 z^2) - ddx(z raizx) = 0

Passo 4

Vamos diferenciar termo por termo:
  1. Para ddx(x y):
    y cdot ddx(x) = y
  2. Para ddx(y^3 z^2):
    y^3 cdot 2 z cdot partial zpartial x
  3. Para ddx(z raizx):
    raizx cdot partial zpartial x + z cdot ddx(raizx) = raizx cdot partial zpartial x + z cdot 12raizx

Passo 5

Substituindo as derivadas na equação original:
y + y^3 cdot 2 z cdot partial zpartial x - ( raizx cdot partial zpartial x + z2raizx ) = 0

Passo 6

Vamos agrupar os termos que contêm partial zpartial x:
y + ( 2 y^3 z - raizx ) cdot partial zpartial x - z2raizx = 0

Passo 7

Isolando partial zpartial x:
( 2 y^3 z - raizx ) cdot partial zpartial x = - y + z2raizx

Passo 8

Finalmente, resolvendo para partial zpartial x:
partial zpartial x = - y + z2raizx 2 y^3 z - raizx

Resposta

A derivada parcial de z em relação a x é:
partial zpartial x = - y + z2raizx 2 y^3 z - raizx

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