Considere
e a função dada de forma implicita por:
. Calcule
usando o teorema da função implicita. Jostifique sua resposta com os cálculos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação
e precisamos achar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Isso envolve o teorema da função implícita, que nos ajuda a encontrar derivadas quando temos equações onde as variáveis estão todas misturadas. Vamos precisar usar diferenciação implícita para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar tudo igual a zero, facilitando a diferenciação:
Isso vai nos ajudar a aplicar a diferenciação implícita corretamente.
Passo 3
Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que
é considerada constante aqui, já que estamos fazendo uma derivada parcial em relação a
. Então, temos:
Passo 4
Vamos diferenciar termo por termo:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Passo 5
Substituindo as derivadas na equação original:
Passo 6
Vamos agrupar os termos que contêm
:
Passo 7
Isolando
:
Passo 8
Finalmente, resolvendo para
:
Resposta
A derivada parcial de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Calcule os limites apresentados abaixo. (2,0 pontos)
Calcular
, em que T é a região interior ao cilindro
e a esfera
.
Utilizando os limites fundamentais apresentados, calcule os itens abaixo. (2,0 pontos)
Calcule a derivada parcial
da função
. Justifique sua resposta com o cálculo.