Considere e a função dada de forma implicita por: . Calcule usando o teorema da função implicita. Jostifique sua resposta com os cálculos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação e precisamos achar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Isso envolve o teorema da função implícita, que nos ajuda a encontrar derivadas quando temos equações onde as variáveis estão todas misturadas. Vamos precisar usar diferenciação implícita para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar tudo igual a zero, facilitando a diferenciação:
Isso vai nos ajudar a aplicar a diferenciação implícita corretamente.

Passo 3

Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que é considerada constante aqui, já que estamos fazendo uma derivada parcial em relação a . Então, temos:

Passo 4

Vamos diferenciar termo por termo:
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :

Passo 5

Substituindo as derivadas na equação original:

Passo 6

Vamos agrupar os termos que contêm :

Passo 7

Isolando :

Passo 8

Finalmente, resolvendo para :

Resposta

A derivada parcial de em relação a é:

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