Calcular , sendo T a região delimitada por , e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral! A gente precisa calcular a integral tripla de na região que é limitada pelas equações dadas: , , , , e . Isso tá relacionado a integrais múltiplas na matéria de Cálculo Avançado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região . As equações e são planos paralelos inclinados, enquanto e também são planos inclinados. A equação é o plano xy, e é um plano que desce do topo.

Passo 3

Vamos visualizar a região projetada no plano xy. As linhas de interseção:
  • e se cruzam em
  • e se cruzam em
  • e se cruzam em
  • e se cruzam em
Isso forma um paralelogramo no plano xy.

Passo 4

Agora, vamos escolher a ordem de integração. Vamos integrar primeiro em , depois em , e por último em . Os limites para vão de 0 até , porque .

Passo 5

Para , observamos que varia de 0 a 3, ou seja, até .

Passo 6

Para , olhando as interseções no plano xy, varia de onde e se encontram até onde e se encontram. Calculando, vemos que vai de até .

Passo 7

Agora, montamos a integral tripla:

Passo 8

Vamos resolver a integral de dentro para fora. Primeiro, integramos em :

Passo 9

Em seguida, integramos em :
Isso envolve expandir e integrar termo a termo.

Passo 10

Por fim, integramos em :
Após calcular todas as integrais, chegamos ao valor final.

Resposta

Depois de resolver todas as integrais conforme os passos, o valor da integral tripla é (o valor numérico final deve ser calculado conforme os passos acima).

Exercícios relacionados

Um tanque contém 100 litros de uma solução a uma concentração de 1 grama por litro. Uma solução com uma concentração de gramas por litro entra no tanque a uma taxa constante de 1 litro por minuto, enquanto que a solução bem misturada sai à mesma taxa.
(b) Calcule a concentração de sal no tanque minutos após o início do processo.
Encontre a solução geral da equação diferencial dada. .