Calcular
, sendo T a região delimitada por
,
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral! A gente precisa calcular a integral tripla de
na região
que é limitada pelas equações dadas:
,
,
,
,
e
. Isso tá relacionado a integrais múltiplas na matéria de Cálculo Avançado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região
. As equações
e
são planos paralelos inclinados, enquanto
e
também são planos inclinados. A equação
é o plano xy, e
é um plano que desce do topo.
Passo 3
Vamos visualizar a região
projetada no plano xy. As linhas de interseção:
-
e se cruzam em -
e se cruzam em -
e se cruzam em -
e se cruzam em
Isso forma um paralelogramo no plano xy.
Passo 4
Agora, vamos escolher a ordem de integração. Vamos integrar primeiro em
, depois em
, e por último em
. Os limites para
vão de 0 até
, porque
.
Passo 5
Para
, observamos que
varia de 0 a 3, ou seja,
até
.
Passo 6
Para
, olhando as interseções no plano xy,
varia de onde
e
se encontram até onde
e
se encontram. Calculando, vemos que
vai de
até
.
Passo 7
Agora, montamos a integral tripla:
Passo 8
Vamos resolver a integral de dentro para fora. Primeiro, integramos em
:
Passo 9
Em seguida, integramos em
:
Isso envolve expandir e integrar termo a termo.
Passo 10
Por fim, integramos em
:
Após calcular todas as integrais, chegamos ao valor final.
Resposta
Depois de resolver todas as integrais conforme os passos, o valor da integral tripla é
(o valor numérico final deve ser calculado conforme os passos acima).
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.