integral cosec^3 x d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de cosec^3 x em relação a x. Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é uma ferramenta útil quando temos produtos de funções que são difíceis de integrar diretamente.

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão u e dv. Vamos deixar:
- u = cosec x
- dv = cosec^2 x , dx

Passo 3

Agora, vamos calcular du e v:
  • Derivada de u:
du = -cosec x cot x , dx
- Integral de dv:
v = integral cosec^2 x , dx = -cot x

Passo 4

Substituindo na fórmula da integração por partes:
integral cosec^3 x , dx = u cdot v - integral v , du
= cosec x cdot (-cot x) - integral (-cot x) cdot (-cosec x cot x) , dx
= -cosec x cot x - integral cosec x cot^2 x , dx

Passo 5

Agora, precisamos simplificar a segunda integral. Sabemos que:
cot^2 x = cosec^2 x - 1
Então:
integral cosec x cot^2 x , dx = integral cosec x (cosec^2 x - 1) , dx
= integral cosec^3 x , dx - integral cosec x , dx

Passo 6

Substituindo de volta na nossa equação original:
integral cosec^3 x , dx = -cosec x cot x - ( integral cosec^3 x , dx - integral cosec x , dx )
Vamos resolver para integral cosec^3 x , dx:
integral cosec^3 x , dx + integral cosec^3 x , dx = -cosec x cot x + integral cosec x , dx
2 integral cosec^3 x , dx = -cosec x cot x - ln |cosec x + cot x| + C

Passo 7

Dividindo ambos os lados por 2 para isolar a integral:
integral cosec^3 x , dx = -cosec x cot x2 - 12 ln |cosec x + cot x| + C

Resposta

A integral de cosec^3 x , dx é:
integral cosec^3 x , dx = -12 cosec x cot x - 12 ln |cosec x + cot x| + C

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