Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de em relação a . Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é uma ferramenta útil quando temos produtos de funções que são difíceis de integrar diretamente.

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula da integração por partes:

Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e . Vamos deixar:
-
-

Passo 3

Agora, vamos calcular e :
  • Derivada de :

- Integral de :

Passo 4

Substituindo na fórmula da integração por partes:

Passo 5

Agora, precisamos simplificar a segunda integral. Sabemos que:

Então:

Passo 6

Substituindo de volta na nossa equação original:

Vamos resolver para :

Passo 7

Dividindo ambos os lados por 2 para isolar a integral:

Resposta

A integral de é:

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Calcular , sendo T a região delimitada por , e .
Um tanque contém 100 litros de uma solução a uma concentração de 1 grama por litro. Uma solução com uma concentração de gramas por litro entra no tanque a uma taxa constante de 1 litro por minuto, enquanto que a solução bem misturada sai à mesma taxa.
(b) Calcule a concentração de sal no tanque minutos após o início do processo.
.