Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de
em relação a
. Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é uma ferramenta útil quando temos produtos de funções que são difíceis de integrar diretamente.
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão
-
-
Passo 3
Agora, vamos calcular
e
:
- Derivada de
:
- Integral de
Passo 4
Substituindo na fórmula da integração por partes:
Passo 5
Agora, precisamos simplificar a segunda integral. Sabemos que:
Então:
Passo 6
Substituindo de volta na nossa equação original:
Vamos resolver para
Passo 7
Dividindo ambos os lados por 2 para isolar a integral:
Resposta
A integral de
é:
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Calcular
, sendo T a região delimitada por
,
e
.
Um tanque contém 100 litros de uma solução a uma concentração de 1 grama por litro. Uma solução com uma concentração de
gramas por litro entra no tanque a uma taxa constante de 1 litro por minuto, enquanto que a solução bem misturada sai à mesma taxa.
(b) Calcule a concentração de sal no tanque minutos após o início do processo.
(b) Calcule a concentração de sal no tanque