Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma equação diferencial de primeira ordem:
. Nosso objetivo aqui é encontrar a solução geral dessa equação, ou seja, descobrir qual função
resolve essa equação. Para isso, vamos usar o método das equações diferenciais lineares de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar claro que ela está na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é
. No nosso caso, temos:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a resolver a equação. O fator integrante
é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Passo 5
A esquerda da equação agora se torna a derivada do produto
. Então podemos escrever:
Passo 6
Para encontrar
, vamos integrar ambos os lados da equação:
A integral do lado esquerdo simplifica para:
Passo 7
Calculando a integral do lado direito:
onde
é a constante de integração.
Passo 8
Agora, temos:
Para isolar
, dividimos ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: