Encontre a solução geral da equação diferencial dada. y' + 2y = 6.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma equação diferencial de primeira ordem: . Nosso objetivo aqui é encontrar a solução geral dessa equação, ou seja, descobrir qual função resolve essa equação. Para isso, vamos usar o método das equações diferenciais lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar claro que ela está na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é . No nosso caso, temos:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a resolver a equação. O fator integrante é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :

Passo 5

A esquerda da equação agora se torna a derivada do produto . Então podemos escrever:

Passo 6

Para encontrar , vamos integrar ambos os lados da equação:
A integral do lado esquerdo simplifica para:

Passo 7

Calculando a integral do lado direito:
onde é a constante de integração.

Passo 8

Agora, temos:
Para isolar , dividimos ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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