Um tanque contém 100 litros de uma solução a uma concentração de 1 grama por litro. Uma solução com uma concentração de
gramas por litro entra no tanque a uma taxa constante de 1 litro por minuto, enquanto que a solução bem misturada sai à mesma taxa.
(b) Calcule a concentração de sal no tanque
minutos após o início do processo.
(b) Calcule a concentração de sal no tanque
Passo 1
Então, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos um tanque com 100 litros de uma solução onde cada litro contém 1 grama de sal. Uma nova solução, cuja concentração de sal varia com o tempo de acordo com a fórmula
gramas por litro, está entrando no tanque constantemente a uma taxa de 1 litro por minuto. Ao mesmo tempo, a solução misturada está saindo do tanque na mesma taxa de 1 litro por minuto. Nosso objetivo aqui é descobrir qual será a concentração de sal no tanque após 10 minutos.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais aplicadas a problemas de mistura. Basicamente, queremos modelar como a quantidade de sal no tanque muda ao longo do tempo considerando o que entra e o que sai.
Passo 2
Primeiro, vamos definir uma variável para representar a quantidade de sal no tanque em função do tempo. Vamos chamar essa quantidade de
, onde
é o tempo em minutos.
No início, temos 100 litros de solução com 1 grama de sal por litro, então a quantidade inicial de sal é:
Passo 3
Agora, precisamos considerar a taxa na qual o sal está entrando e saindo do tanque.
Entrada de sal:
A concentração de sal da solução que entra é g/litro, e está entrando a 1 litro por minuto. Então, a taxa de entrada de sal é:
A concentração de sal da solução que entra é
Saída de sal:
A solução está bem misturada, então a concentração de sal que sai é a mesma que está no tanque naquele momento, ou seja, g/litro. Como a taxa de saída é de 1 litro por minuto, a taxa de saída de sal é:
A solução está bem misturada, então a concentração de sal que sai é a mesma que está no tanque naquele momento, ou seja,
Passo 4
A mudança na quantidade de sal no tanque ao longo do tempo é dada pela diferença entre a taxa de entrada e a taxa de saída. Isso nos leva à seguinte equação diferencial:
Passo 5
Para resolver essa equação diferencial, vamos reorganizá-la:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que pode ser resolvida usando um fator integrante.
O fator integrante
é dado por:
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Integrando ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Resolvendo para
:
Passo 6
Agora, usamos a condição inicial para encontrar
. Sabemos que quando
,
g:
Então, a solução da equação diferencial fica:
Passo 7
Finalmente, queremos encontrar a concentração de sal no tanque após 10 minutos, ou seja,
. Primeiro, calculamos
:
Calculando
:
Então:
A concentração de sal no tanque é a quantidade de sal dividida pelo volume total (100 litros):
Resposta
Após 10 minutos, a concentração de sal no tanque é aproximadamente
gramas por litro.
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<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.464ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“10.89ex” height=“2.181ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -759 4813.5 964”><title>y’ + 2y = 6</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“msup”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D466” d=“M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z”></path></g><g data-mml-node=“TeXAtom” transform=“translate(523,363) scale(0.707)” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“2032” d=“M79 43Q73 43 52 49T30 61Q30 68 85 293T146 528Q161 560 198 560Q218 560 240 545T262 501Q262 496 260 486Q259 479 173 263T84 45T79 43Z”></path></g></g></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(989.7,0)”><path data-c=“2B” d=“M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z”></path></g><g data-mml-node=“mn” transform=“translate(1989.9,0)”><path data-c=“32” d=“M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z”></path></g><g data-mml-node=“mi” transform=“translate(2489.9,0)”><path data-c=“1D466” d=“M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(3257.7,0)”><path data-c=“3D” d=“M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z”></path></g><g data-mml-node=“mn” transform=“translate(4313.5,0)”><path data-c=“36” d=“M42 313Q42 476 123 571T303 666Q372 666 402 630T432 550Q432 525 418 510T379 495Q356 495 341 509T326 548Q326 592 373 601Q351 623 311 626Q240 626 194 566Q147 500 147 364L148 360Q153 366 156 373Q197 433 263 433H267Q313 433 348 414Q372 400 396 374T435 317Q456 268 456 210V192Q456 169 451 149Q440 90 387 34T253 -22Q225 -22 199 -14T143 16T92 75T56 172T42 313ZM257 397Q227 397 205 380T171 335T154 278T148 216Q148 133 160 97T198 39Q222 21 251 21Q302 21 329 59Q342 77 347 104T352 209Q352 289 347 316T329 361Q302 397 257 397Z”></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>.</div>
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