Um tanque contém 100 litros de uma solução a uma concentração de 1 grama por litro. Uma solução com uma concentração de 2 t e^(-1/100 t) gramas por litro entra no tanque a uma taxa constante de 1 litro por minuto, enquanto que a solução bem misturada sai à mesma taxa.
(b) Calcule a concentração de sal no tanque t = 10 minutos após o início do processo.

Passo 1

Então, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos um tanque com 100 litros de uma solução onde cada litro contém 1 grama de sal. Uma nova solução, cuja concentração de sal varia com o tempo de acordo com a fórmula gramas por litro, está entrando no tanque constantemente a uma taxa de 1 litro por minuto. Ao mesmo tempo, a solução misturada está saindo do tanque na mesma taxa de 1 litro por minuto. Nosso objetivo aqui é descobrir qual será a concentração de sal no tanque após 10 minutos.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais aplicadas a problemas de mistura. Basicamente, queremos modelar como a quantidade de sal no tanque muda ao longo do tempo considerando o que entra e o que sai.

Passo 2

Primeiro, vamos definir uma variável para representar a quantidade de sal no tanque em função do tempo. Vamos chamar essa quantidade de , onde é o tempo em minutos.
No início, temos 100 litros de solução com 1 grama de sal por litro, então a quantidade inicial de sal é:

Passo 3

Agora, precisamos considerar a taxa na qual o sal está entrando e saindo do tanque.
Entrada de sal:
A concentração de sal da solução que entra é g/litro, e está entrando a 1 litro por minuto. Então, a taxa de entrada de sal é:
Saída de sal:
A solução está bem misturada, então a concentração de sal que sai é a mesma que está no tanque naquele momento, ou seja, g/litro. Como a taxa de saída é de 1 litro por minuto, a taxa de saída de sal é:
í

Passo 4

A mudança na quantidade de sal no tanque ao longo do tempo é dada pela diferença entre a taxa de entrada e a taxa de saída. Isso nos leva à seguinte equação diferencial:

Passo 5

Para resolver essa equação diferencial, vamos reorganizá-la:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que pode ser resolvida usando um fator integrante.
O fator integrante é dado por:
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto :
Integrando ambos os lados em relação a :
onde é a constante de integração.
Resolvendo para :

Passo 6

Agora, usamos a condição inicial para encontrar . Sabemos que quando , g:
Então, a solução da equação diferencial fica:

Passo 7

Finalmente, queremos encontrar a concentração de sal no tanque após 10 minutos, ou seja, . Primeiro, calculamos :
Calculando :
Então:
A concentração de sal no tanque é a quantidade de sal dividida pelo volume total (100 litros):
çã

Resposta

Após 10 minutos, a concentração de sal no tanque é aproximadamente gramas por litro.

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