Um tanque contém 100 litros de uma solução a uma concentração de 1 grama por litro. Uma solução com uma concentração de
gramas por litro entra no tanque a uma taxa constante de 1 litro por minuto, enquanto que a solução bem misturada sai à mesma taxa.
(b) Calcule a concentração de sal no tanque
minutos após o início do processo.
(b) Calcule a concentração de sal no tanque
Passo 1
Então, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos um tanque com 100 litros de uma solução onde cada litro contém 1 grama de sal. Uma nova solução, cuja concentração de sal varia com o tempo de acordo com a fórmula
gramas por litro, está entrando no tanque constantemente a uma taxa de 1 litro por minuto. Ao mesmo tempo, a solução misturada está saindo do tanque na mesma taxa de 1 litro por minuto. Nosso objetivo aqui é descobrir qual será a concentração de sal no tanque após 10 minutos.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais aplicadas a problemas de mistura. Basicamente, queremos modelar como a quantidade de sal no tanque muda ao longo do tempo considerando o que entra e o que sai.
Passo 2
Primeiro, vamos definir uma variável para representar a quantidade de sal no tanque em função do tempo. Vamos chamar essa quantidade de
, onde
é o tempo em minutos.
No início, temos 100 litros de solução com 1 grama de sal por litro, então a quantidade inicial de sal é:
Passo 3
Agora, precisamos considerar a taxa na qual o sal está entrando e saindo do tanque.
Entrada de sal:
A concentração de sal da solução que entra é g/litro, e está entrando a 1 litro por minuto. Então, a taxa de entrada de sal é:
A concentração de sal da solução que entra é
Saída de sal:
A solução está bem misturada, então a concentração de sal que sai é a mesma que está no tanque naquele momento, ou seja, g/litro. Como a taxa de saída é de 1 litro por minuto, a taxa de saída de sal é:
A solução está bem misturada, então a concentração de sal que sai é a mesma que está no tanque naquele momento, ou seja,
Passo 4
A mudança na quantidade de sal no tanque ao longo do tempo é dada pela diferença entre a taxa de entrada e a taxa de saída. Isso nos leva à seguinte equação diferencial:
Passo 5
Para resolver essa equação diferencial, vamos reorganizá-la:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que pode ser resolvida usando um fator integrante.
O fator integrante
é dado por:
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Integrando ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Resolvendo para
:
Passo 6
Agora, usamos a condição inicial para encontrar
. Sabemos que quando
,
g:
Então, a solução da equação diferencial fica:
Passo 7
Finalmente, queremos encontrar a concentração de sal no tanque após 10 minutos, ou seja,
. Primeiro, calculamos
:
Calculando
:
Então:
A concentração de sal no tanque é a quantidade de sal dividida pelo volume total (100 litros):
Resposta
Após 10 minutos, a concentração de sal no tanque é aproximadamente
gramas por litro.