Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui! Temos a integral
, onde
é um número inteiro natural. O conteúdo que vamos usar para resolver isso é o de integração por partes, uma técnica que nos ajuda a integrar produtos de funções. Vamos precisar identificar duas partes na nossa integral: uma função para derivar e outra para integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Aqui, a gente precisa escolher qual parte da nossa integral será
e qual será
. É importante escolher
de forma que sua derivada
seja mais simples, e que
seja fácil de integrar.
Passo 3
Vamos fazer a escolha:
-
Seja
. Aí, precisamos derivar : -
E o restante fica para
. Como tínhamos na integral original, então: Agora, vamos integrarpara encontrar :
Passo 4
Agora, vamos aplicar a fórmula da integração por partes:
Substituindo o que encontramos:
Passo 5
Vamos simplificar a segunda integral:
Agora, integramos
:
Passo 6
Voltando à nossa expressão anterior:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral é igual a: