integral x^n ln x d x, n varepsilon N

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui! Temos a integral , onde é um número inteiro natural. O conteúdo que vamos usar para resolver isso é o de integração por partes, uma técnica que nos ajuda a integrar produtos de funções. Vamos precisar identificar duas partes na nossa integral: uma função para derivar e outra para integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, a gente precisa escolher qual parte da nossa integral será e qual será . É importante escolher de forma que sua derivada seja mais simples, e que seja fácil de integrar.

Passo 3

Vamos fazer a escolha:
  • Seja du = 1x , dx . Aí, precisamos derivar dv = x^n , dx :
    v = integral x^n , dx = x^n+1n+1
  • E o restante fica para . Como tínhamos na integral original, então:
    Agora, vamos integrar para encontrar :

Passo 4

Agora, vamos aplicar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo o que encontramos:
integral x^n ln x , dx = ln x cdot x^n+1n+1 - integral x^n+1n+1 cdot 1x , dx

Passo 5

Vamos simplificar a segunda integral:
integral x^n+1n+1 cdot 1x , dx = 1n+1 integral x^n , dx
Agora, integramos 1n+1 cdot x^n+1n+1 = x^n+1(n+1)^2 :

Passo 6

Voltando à nossa expressão anterior:
integral x^n ln x , dx = x^n+1 ln xn+1 - x^n+1(n+1)^2 + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a:
integral x^n ln x , dx = x^n+1 ln xn+1 - x^n+1(n+1)^2 + C

Exercícios relacionados