Calcular integral triplaT x y d V, onde T é a região acima do plano xy delimitada por z=4-x^2, y=0 e y=4.

Passo 1

Vamos calcular a integral tripla integral triplaT x y , dV, onde T é a região acima do plano xy delimitada por z = 4 - x^2, y = 0 e y = 4. Esse problema envolve cálculo multivariável, especificamente integrais triplas. Para resolver, precisamos entender os limites de integração para as variáveis x, y e z.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar os limites para a variável y. De acordo com o enunciado, y varia de 0 a 4:
0 <= y <= 4

Passo 3

Em seguida, analisamos os limites para a variável x. A superfície z = 4 - x^2 nos dá uma parábola aberta para baixo em relação a x. Quando z = 0, temos:
4 - x^2 = 0 Rightarrow x^2 = 4 Rightarrow x = pm 2
Portanto, x varia de -2 a 2:
-2 <= x <= 2

Passo 4

Agora, determinamos os limites para a variável z. A região está acima do plano xy, então z começa em 0 e vai até a superfície z = 4 - x^2:
0 <= z <= 4 - x^2

Passo 5

Com os limites definidos, configuramos a integral tripla:
integral triplaT x y , dV = integraly=0^4 integralx=-2^2 integralz=0^4 - x^2 x y , dz , dx , dy

Passo 6

Vamos integrar em ordem com relação a z primeiro:
integral0^4 - x^2 x y , dz = x y [ z ]0^4 - x^2 = x y (4 - x^2)

Passo 7

Substituímos o resultado da integração de z na integral dupla:
integral0^4 integral-2^2 x y (4 - x^2) , dx , dy

Passo 8

Expandimos a expressão dentro da integral:
x y (4 - x^2) = 4 x y - x^3 y
Assim, a integral fica:
integral0^4 integral-2^2 (4 x y - x^3 y) , dx , dy

Passo 9

Integramos em relação a x:
integral-2^2 4 x y , dx = 4 y [ x^22 ]-2^2 = 4 y ( 42 - 42 ) = 4 y (2 - 2) = 0
integral-2^2 -x^3 y , dx = -y [ x^44 ]-2^2 = -y ( 164 - 164 ) = -y (4 - 4) = 0

Passo 10

Somando os resultados das integrais:
0 + 0 = 0

Resposta

O valor da integral tripla é 0.

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