Calcular
, onde T é a região acima do plano xy delimitada por
e
.
Passo 1
Vamos calcular a integral tripla
, onde
é a região acima do plano
delimitada por
,
e
. Esse problema envolve cálculo multivariável, especificamente integrais triplas. Para resolver, precisamos entender os limites de integração para as variáveis
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar os limites para a variável
. De acordo com o enunciado,
varia de
a
:
Passo 3
Em seguida, analisamos os limites para a variável
. A superfície
nos dá uma parábola aberta para baixo em relação a
. Quando
, temos:
Portanto,
varia de
a
:
Passo 4
Agora, determinamos os limites para a variável
. A região está acima do plano
, então
começa em
e vai até a superfície
:
Passo 5
Com os limites definidos, configuramos a integral tripla:
Passo 6
Vamos integrar em ordem com relação a
primeiro:
Passo 7
Substituímos o resultado da integração de
na integral dupla:
Passo 8
Expandimos a expressão dentro da integral:
Assim, a integral fica:
Passo 9
Integramos em relação a
:
Passo 10
Somando os resultados das integrais:
Resposta
O valor da integral tripla é
.
Exercícios relacionados
Calcule o comprimento da curva
.
Determine
onde
e
.
Seja
a região circular do plano, cujo bordo é a circunferência
com equação
. Considere uma função contínua
cujas derivadas são contínuas. Escreva
como uma integral dupla sobre a região
.
Calcule a integral
em que
é a parte da parábola
, de
até
.