Calcular , onde T é a região acima do plano xy delimitada por e .

Passo 1

Vamos calcular a integral tripla , onde é a região acima do plano delimitada por , e . Esse problema envolve cálculo multivariável, especificamente integrais triplas. Para resolver, precisamos entender os limites de integração para as variáveis , e .

Passo 2

Primeiro, vamos determinar os limites para a variável . De acordo com o enunciado, varia de a :

Passo 3

Em seguida, analisamos os limites para a variável . A superfície nos dá uma parábola aberta para baixo em relação a . Quando , temos:
Portanto, varia de a :

Passo 4

Agora, determinamos os limites para a variável . A região está acima do plano , então começa em e vai até a superfície :

Passo 5

Com os limites definidos, configuramos a integral tripla:

Passo 6

Vamos integrar em ordem com relação a primeiro:

Passo 7

Substituímos o resultado da integração de na integral dupla:

Passo 8

Expandimos a expressão dentro da integral:
Assim, a integral fica:

Passo 9

Integramos em relação a :

Passo 10

Somando os resultados das integrais:

Resposta

O valor da integral tripla é .

Exercícios relacionados

Calcule o comprimento da curva .
Determine onde e .
Seja a região circular do plano, cujo bordo é a circunferência com equação . Considere uma função contínua cujas derivadas são contínuas. Escreva como uma integral dupla sobre a região .
Calcule a integral em que é a parte da parábola , de até .