Seja
a região circular do plano, cujo bordo é a circunferência
com equação
. Considere uma função contínua
cujas derivadas são contínuas. Escreva
como uma integral dupla sobre a região
.
Passo 1
Vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma circunferência
com equação
, que delimita uma região circular
no plano. A função
é contínua e possui derivadas contínuas. Precisamos reescrever a integral de linha
como uma integral dupla sobre a região
. Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas.
Passo 2
O Teorema de Green nos permite converter uma integral de linha ao redor de uma curva fechada em uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. A forma geral do Teorema de Green é:
No nosso caso, a integral dada é apenas
, o que significa que
e
.
Passo 3
Aplicando as definições de
e
no Teorema de Green, temos:
Passo 4
Portanto, a integral de linha
pode ser escrita como uma integral dupla sobre a região
:
Resposta
Exercícios relacionados
Calcular
, onde T é a região acima do plano xy delimitada por
e
.
Calcule o comprimento da curva
.
Calcule a integral
em que
é a parte da parábola
, de
até
.
Sejam
o círculo
e
a elipse
, ambos orientados no sentido anti-horário. Considere os campos:
(a) Use o teorema de Green para mostrar que
. (b) Use o teorema de Green para calcular
. © Mostre que $\int_{C} \vec{G} \cdot d \vec{r}=\int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r} e conclua que
.