Seja D a região circular do plano, cujo bordo é a circunferência C com equação x^2+y^2=1. Considere uma função contínua f(x, y) cujas derivadas são contínuas. Escreva integralC f(x, y) d x como uma integral dupla sobre a região D.

Passo 1

Vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma circunferência com equação , que delimita uma região circular no plano. A função é contínua e possui derivadas contínuas. Precisamos reescrever a integral de linha como uma integral dupla sobre a região . Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas.

Passo 2

O Teorema de Green nos permite converter uma integral de linha ao redor de uma curva fechada em uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. A forma geral do Teorema de Green é:
ointC (P , dx + Q , dy) = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx , dy
No nosso caso, a integral dada é apenas , o que significa que e .

Passo 3

Aplicando as definições de ointC f(x, y) , dx = integral duplaD ( partial 0partial x - partial fpartial y ) dx , dy = -integral duplaD partial fpartial y , dx , dy e no Teorema de Green, temos:

Passo 4

Portanto, a integral de linha integralC f(x, y) , dx = -integral duplaD partial fpartial y , dx , dy pode ser escrita como uma integral dupla sobre a região :

Resposta

integralC f(x, y) , dx = -integral duplaD partial fpartial y , dx , dy

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