Seja a região circular do plano, cujo bordo é a circunferência com equação . Considere uma função contínua cujas derivadas são contínuas. Escreva como uma integral dupla sobre a região .

Passo 1

Vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma circunferência com equação , que delimita uma região circular no plano. A função é contínua e possui derivadas contínuas. Precisamos reescrever a integral de linha como uma integral dupla sobre a região . Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas.

Passo 2

O Teorema de Green nos permite converter uma integral de linha ao redor de uma curva fechada em uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. A forma geral do Teorema de Green é:
No nosso caso, a integral dada é apenas , o que significa que e .

Passo 3

Aplicando as definições de e no Teorema de Green, temos:

Passo 4

Portanto, a integral de linha pode ser escrita como uma integral dupla sobre a região :

Resposta

Exercícios relacionados

Calcular , onde T é a região acima do plano xy delimitada por e .
Calcule o comprimento da curva .
Calcule a integral em que é a parte da parábola , de até .
Sejam o círculo e a elipse , ambos orientados no sentido anti-horário. Considere os campos: (a) Use o teorema de Green para mostrar que . (b) Use o teorema de Green para calcular . © Mostre que $\int_{C} \vec{G} \cdot d \vec{r}=\int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r} e conclua que .