Dizemos que um campo F(x, y)=(P(x, y), Q(x, y)) tem simetria de rotação de 90^circ quando F(-y, x)= (-Q(x, y), P(x, y)). Sejam C1, C2, C3, C4 os arcos do círculo C: x^2+y^2=1 contidos no primeiro, segundo, terceiro e quarto quadrante, respectivamente. Suponha que as curvas estão orientadas no sentido anti-horário. Mostre que se F tem simetria de rotação de 90^circ, então integralC1 F cdot d r=integralC2 F cdot d r=integralC3 F cdot d r=integralC4 F cdot d r

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está nos pedindo. Temos um campo vetorial F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)) que possui uma simetria de rotação de 90^circ. Queremos mostrar que as integrais de linha desse campo vetorial sobre os arcos C1, C2, C3 e C4 do círculo unitário são todas iguais. Para resolver isso, vamos usar conceitos de simetria em campos vetoriais e propriedades das integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que o campo vetorial F tem simetria de rotação de 90^circ. Isso quer dizer que se rotacionarmos as coordenadas em 90^circ, o campo mudará de forma específica:
F(-y, x) = (-Q(x, y), P(x, y))
Isso implica que, ao girarmos o campo em 90^circ, as componentes do campo vetorial também se transformam de uma maneira determinada.

Passo 3

Agora, vamos considerar os arcos C1, C2, C3 e C4 do círculo unitário C: x^2 + y^2 = 1, cada um pertencente a um quadrante diferente e orientados anti-horariamente. Nosso objetivo é mostrar que:
integralC1 F cdot dr = integralC2 F cdot dr = integralC3 F cdot dr = integralC4 F cdot dr

Passo 4

Vamos usar a propriedade de simetria do campo vetorial para relacionar as integrais sobre os diferentes arcos. Considere uma rotação de 90^circ no sentido anti-horário. Isso faz com que o arco C1 seja mapeado para C2, C2 para C3, e assim por diante.
Matematicamente, isso significa que podemos relacionar os pontos e vetores de um arco com os do próximo arco usando a transformação de rotação.

Passo 5

Aplicando a simetria de rotação de 90^circ ao campo F e à parametrização dos arcos, podemos reescrever a integral sobre, por exemplo, C2 em termos da integral sobre C1. Devido à simetria dada pela condição F(-y, x) = (-Q(x, y), P(x, y)), as integrais vão se relacionar de forma que todas elas terão o mesmo valor.

Passo 6

Repetindo esse processo para cada rotação de 90^circ, vemos que:
integralC1 F cdot dr = integralC2 F cdot dr = integralC3 F cdot dr = integralC4 F cdot dr
Isso ocorre porque a simetria de rotação garante que cada integral sobre os diferentes arcos é uma “versão rotacionada” da integral anterior, mantendo o mesmo valor.

Resposta

As integrais de linha de F sobre os arcos C1, C2, C3 e C4 são todas iguais.

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