Dizemos que um campo
tem simetria de rotação de
quando
. Sejam
os arcos do círculo
contidos no primeiro, segundo, terceiro e quarto quadrante, respectivamente. Suponha que as curvas estão orientadas no sentido anti-horário. Mostre que se
tem simetria de rotação de
, então
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está nos pedindo. Temos um campo vetorial
que possui uma simetria de rotação de
. Queremos mostrar que as integrais de linha desse campo vetorial sobre os arcos
e
do círculo unitário são todas iguais. Para resolver isso, vamos usar conceitos de simetria em campos vetoriais e propriedades das integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que o campo vetorial
tem simetria de rotação de
. Isso quer dizer que se rotacionarmos as coordenadas em
, o campo mudará de forma específica:
Isso implica que, ao girarmos o campo em
, as componentes do campo vetorial também se transformam de uma maneira determinada.
Passo 3
Agora, vamos considerar os arcos
e
do círculo unitário
, cada um pertencente a um quadrante diferente e orientados anti-horariamente. Nosso objetivo é mostrar que:
Passo 4
Vamos usar a propriedade de simetria do campo vetorial para relacionar as integrais sobre os diferentes arcos. Considere uma rotação de
no sentido anti-horário. Isso faz com que o arco
seja mapeado para
,
para
, e assim por diante.
Matematicamente, isso significa que podemos relacionar os pontos e vetores de um arco com os do próximo arco usando a transformação de rotação.
Passo 5
Aplicando a simetria de rotação de
ao campo
e à parametrização dos arcos, podemos reescrever a integral sobre, por exemplo,
em termos da integral sobre
. Devido à simetria dada pela condição
, as integrais vão se relacionar de forma que todas elas terão o mesmo valor.
Passo 6
Repetindo esse processo para cada rotação de
, vemos que:
Isso ocorre porque a simetria de rotação garante que cada integral sobre os diferentes arcos é uma “versão rotacionada” da integral anterior, mantendo o mesmo valor.
Resposta
As integrais de linha de
sobre os arcos
e
são todas iguais.