Calcule o comprimento da curva r(t) = (12 t, 8 t^(3/2), 3 t^2), 0 <= t <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento da curva descrita pela função vetorial no intervalo de de 0 a 1. Isso faz parte da matéria de Cálculo, mais especificamente do estudo de curvas no espaço. Para resolver, vamos usar a fórmula do comprimento de uma curva parametrizada.

Passo 2

Primeiro, pra encontrar o comprimento da curva, a gente precisa da derivada da função vetorial . A derivada vai nos dar a velocidade vetorial nessa curva, que é essencial para calcular o comprimento.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de cada componente de :
Então,

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a magnitude (ou norma) de , que é dada por:

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da raiz:
Podemos fatorar o 36:

Passo 6

Finalmente, para encontrar o comprimento da curva, integramos de 0 a 1:
Integrando:

Resposta

O comprimento da curva é 15 unidades.

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