Calcule o comprimento da curva
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento da curva descrita pela função vetorial
no intervalo de
de 0 a 1. Isso faz parte da matéria de Cálculo, mais especificamente do estudo de curvas no espaço. Para resolver, vamos usar a fórmula do comprimento de uma curva parametrizada.
Passo 2
Primeiro, pra encontrar o comprimento da curva, a gente precisa da derivada da função vetorial
. A derivada vai nos dar a velocidade vetorial nessa curva, que é essencial para calcular o comprimento.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de cada componente de
:
Então,
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a magnitude (ou norma) de
, que é dada por:
Passo 5
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Podemos fatorar o 36:
Passo 6
Finalmente, para encontrar o comprimento da curva, integramos
de 0 a 1:
Integrando:
Resposta
O comprimento da curva é 15 unidades.
Exercícios relacionados
Determine
onde
e
.
Usando a Função Gamma, mostre que
Calcular
, onde T é a região acima do plano xy delimitada por
e
.
Seja
a região circular do plano, cujo bordo é a circunferência
com equação
. Considere uma função contínua
cujas derivadas são contínuas. Escreva
como uma integral dupla sobre a região
.