Determine (f(t) * g(t))' onde f(t) = t*i + t^2*j + t^3*k e g(t) = e^(2t) i + e^(-2t) j + t e^(2t) k.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada em relação a do produto vetorial entre dois vetores, e . Isso envolve conhecimentos de cálculo vetorial, especificamente sobre derivadas de vetores e produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a regra da derivada de um produto vetorial. Se temos dois vetores que dependem de , e , a derivada do produto vetorial deles é dada por:
Isso significa que a derivada do produto vetorial é a soma do produto vetorial da derivada de com mais o produto vetorial de com a derivada de .

Passo 3

Vamos calcular e :
Para :
Para :

Passo 4

Agora, vamos calcular :
Calculando o determinante:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular :
Calculando o determinante:
Simplificando:

Passo 6

Agora, somamos os dois resultados para obter :
Substituindo os valores encontrados:
Simplificando cada componente:
Para :
Para :
Para :

Resposta

Portanto, a derivada é:

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