Calcular: integral 3 x^2+2 xx^3+x^2 d x

Passo 1

Beleza, temos que calcular a integral integral 3 x^2+2 xx^3+x^2 , dx. Esse tipo de integral é de uma função racional, ou seja, uma fração onde tanto o numerador quanto o denominador são polinômios. Para resolver isso, vamos simplificar a expressão e usar a técnica de frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador para facilitar a simplificação. O denominador x^3 + x^2 pode ser fatorado assim:
x^3 + x^2 = x^2(x + 1)
Então, a integral fica:
integral 3 x^2 + 2 xx^2(x + 1) , dx

Passo 3

Agora, vamos simplificar a fração dividindo o numerador pelo denominador fatorado. Podemos fatorar x do numerador:
3 x^2 + 2 x = x(3x + 2)
Substituindo na integral:
integral x(3x + 2)x^2(x + 1) , dx = integral 3x + 2x(x + 1) , dx

Passo 4

Para integrar essa fração, vamos decompor em frações parciais. Queremos encontrar constantes A e B tais que:
3x + 2x(x + 1) = Ax + Bx + 1
Multiplicando ambos os lados por x(x + 1) para eliminar os denominadores:
3x + 2 = A(x + 1) + Bx

Passo 5

Agora, vamos resolver para A e B. Expandindo o lado direito:
3x + 2 = A x + A + B x = (A + B)x + A
Comparando os coeficientes dos termos semelhantes, temos:
A + B = 3 (coeficiente de x)
A = 2 (termo constante)
Então, substituindo A = 2 na primeira equação:
2 + B = 3 implies B = 1

Passo 6

Agora que encontramos A = 2 e B = 1, podemos escrever a integral como:
integral ( 2x + 1x + 1 ) , dx

Passo 7

Vamos integrar cada termo separadamente. Lembrando que:
integral 1x , dx = ln|x| + C
integral 1x + 1 , dx = ln|x + 1| + C
Aplicando isso à nossa integral:
integral 2x , dx + integral 1x + 1 , dx = 2 ln|x| + ln|x + 1| + C

Resposta

A integral vale 2, ln|x| + ln|x + 1| + C, onde C é a constante de integração.

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