Calcular:
Passo 1
Beleza, temos que calcular a integral
. Esse tipo de integral é de uma função racional, ou seja, uma fração onde tanto o numerador quanto o denominador são polinômios. Para resolver isso, vamos simplificar a expressão e usar a técnica de frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador para facilitar a simplificação. O denominador
pode ser fatorado assim:
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a fração dividindo o numerador pelo denominador fatorado. Podemos fatorar
do numerador:
Substituindo na integral:
Passo 4
Para integrar essa fração, vamos decompor em frações parciais. Queremos encontrar constantes
e
tais que:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Passo 5
Agora, vamos resolver para
e
. Expandindo o lado direito:
Comparando os coeficientes dos termos semelhantes, temos:
Então, substituindo
na primeira equação:
Passo 6
Agora que encontramos
e
, podemos escrever a integral como:
Passo 7
Vamos integrar cada termo separadamente. Lembrando que:
Aplicando isso à nossa integral:
Resposta
A integral vale
, onde
é a constante de integração.