Para calcular a integral integral x^3(1-x^2)^3 / 2 d x, aplica-se o método da integração por partes com u=x^2 e d v=x(1-x^2)^3 / 2 d x, obtendo
integral x^3(1-x^2)^3 / 2 d x=integral u d v=u v-integral v d u
Resolva a integral integral v d u acima.

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício de integração! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a integral usando o método da integração por partes. A matéria envolvida é cálculo integral, especificamente a técnica de integração por partes. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar essa técnica passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são u = x^2 e dv = x(1 - x^2)^3/2 dx e no método da integração por partes. No enunciado, temos:
Nosso objetivo agora é encontrar e .

Passo 3

Calculando du = ddx(x^2) , dx = 2x , dx , que é a derivada de :

Passo 4

Agora, precisamos encontrar v = integral x(1 - x^2)^3/2 dx integrando w = 1 - x^2 :
dw = -2x , dx Rightarrow x , dx = -12 dw
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição. Vamos deixar:
Então, a derivada de em relação a é:

Passo 5

Substituindo na integral de v = integral x(1 - x^2)^3/2 dx = integral (w)^3/2 (-12) dw = -12 integral w^3/2 dw :
integral w^3/2 dw = 25 w^5/2 + C
Agora, vamos integrar v = -12 cdot 25 w^5/2 + C = -15 (1 - x^2)^5/2 + C :
v = -15 (1 - x^2)^5/2
Então:
Podemos ignorar a constante para fins de integração por partes, então:

Passo 6

Agora que temos integral v , du = integral (-15 (1 - x^2)^5/2) cdot 2x , dx = -25 integral x (1 - x^2)^5/2 dx e , vamos montar a integral :
Essa nova integral também pode ser resolvida por substituição.

Passo 7

Vamos resolver w = 1 - x^2 Rightarrow dw = -2x , dx Rightarrow x , dx = -12 dw usando substituição novamente. Deixamos:
-25 integral x (1 - x^2)^5/2 dx = -25 cdot (-12) integral w^5/2 dw = 15 integral w^5/2 dw
Substituindo na integral:

Passo 8

Integrando integral w^5/2 dw = 27 w^7/2 + C :
15 cdot 27 w^7/2 = 235 (1 - x^2)^7/2
Então:
Novamente, ignoramos a constante .

Resposta

Portanto, a integral 235 (1 - x^2)^7/2 + C é igual a:

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