Considere a função
Calcule e .

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma função . A gente precisa calcular dois limites: quando vai para mais infinito ( ) e quando vai para menos infinito ( ). Isso faz parte do estudo de limites no cálculo, onde a gente analisa o comportamento das funções quando as variáveis se aproximam de valores muito grandes ou muito pequenos. Para resolver isso, vamos olhar como cada termo da função se comporta nessas situações.

Passo 2

Vamos começar calculando . Quando cresce sem limite, tanto quanto aumentam, mas a taxa com que eles crescem é diferente. A função exponencial cresce muito mais rápido que qualquer polinômio, incluindo .

Passo 3

Para entender melhor, vamos dividir o numerador e o denominador por , que é o termo com crescimento mais rápido:
Quando , tende a zero porque cresce muito mais rápido que .

Passo 4

Portanto, a expressão simplificada fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular . Quando vai para menos infinito, tende a zero porque a exponencial de um número muito negativo fica muito pequena. Já sempre é positivo e cresce para infinito conforme se afasta de zero.

Passo 6

Assim, a função fica:
Pois é praticamente zero comparado a quando .

Resposta

Exercícios relacionados

Considere a função
Indique o domínio de e represente o sinal de .
(a) Determine as equações paramétricas da reta de interseção entre os planos dados e (b) determine o ângulo entre os planos.
Considere a função
Indique os pontos críticos de caso possua e a regiões de crescimento e decrescimento da função.
Para calcular a integral , aplica-se o método da integração por partes com e , obtendo
Resolva a integral acima.