Considere a função
f(x)=e^x3 x^2+e^x
Calcule lim x infty f(x) e lim x -infty f(x).

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma função . A gente precisa calcular dois limites: quando vai para mais infinito ( ) e quando vai para menos infinito ( ). Isso faz parte do estudo de limites no cálculo, onde a gente analisa o comportamento das funções quando as variáveis se aproximam de valores muito grandes ou muito pequenos. Para resolver isso, vamos olhar como cada termo da função se comporta nessas situações.

Passo 2

Vamos começar calculando . Quando cresce sem limite, tanto quanto aumentam, mas a taxa com que eles crescem é diferente. A função exponencial cresce muito mais rápido que qualquer polinômio, incluindo .

Passo 3

Para entender melhor, vamos dividir o numerador e o denominador por f(x) = e^x3x^2 + e^x = 13x^2e^x + 1 , que é o termo com crescimento mais rápido:
Quando , tende a zero porque cresce muito mais rápido que .

Passo 4

Portanto, a expressão simplificada fica:
limx to infty f(x) = 10 + 1 = 1

Passo 5

Agora, vamos calcular . Quando vai para menos infinito, tende a zero porque a exponencial de um número muito negativo fica muito pequena. Já sempre é positivo e cresce para infinito conforme se afasta de zero.

Passo 6

Assim, a função fica:
f(x) = e^x3x^2 + e^x approx 03x^2 = 0
Pois é praticamente zero comparado a quando .

Resposta

limx to infty f(x) = 1 e limx to -infty f(x) = 0

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