Calcule as integrais definidas abaixo.
(g)
(g)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida
. Aqui, a gente vai precisar usar um método chamado integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções, como é o caso de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula é:
Nessa fórmula, a gente escolhe
e
de forma estratégica. Para o nosso caso, vamos deixar:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
e
.
Calculando
:
Para encontrar
, vamos integrar
:
Aqui, fazemos uma substituição simples. Seja
, então
ou
. Assim:
Passo 4
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral restante:
Fazendo a mesma substituição
, temos:
Portanto:
Substituindo de volta na expressão anterior:
Passo 6
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de
e
:
Para
:
Sabemos que
e
, então:
Para
:
Sabemos que
e
, então:
Resposta
Subtraindo os valores nos limites:
Portanto, o valor da integral é 18.
Exercícios relacionados
Para calcular a integral
, aplica-se o método da integração por partes com
e
, obtendo
Resolva a integral
acima.
Considere a função
Indique os pontos críticos de
caso possua e a regiões de crescimento e decrescimento da função.
Trace a curva
definida por
, indique sua orientação e calcule seu comprimento.
(a)
(a)
Determine
de modo que