Calcule as integrais definidas abaixo.
(g) integral15 pi^18 pi x cos (x3) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida integral15 pi^18 pi x cos (x3) dx. Aqui, a gente vai precisar usar um método chamado integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções, como é o caso de e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Nessa fórmula, a gente escolhe u = x e dv = cos(x3) dx e de forma estratégica. Para o nosso caso, vamos deixar:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du = dx e v = integral cos(x3) dx .
Calculando v = integral cos(t) cdot 3 dt = 3 sin(t) + C = 3 sin(x3) :
Para encontrar , vamos integrar :
Aqui, fazemos uma substituição simples. Seja , então ou . Assim:

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral x cos(x3) dx = x cdot 3 sin(x3) - integral 3 sin(x3) dx
Simplificando:
= 3x sin(x3) - 3 integral sin(x3) dx

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral restante:
integral sin(x3) dx
Fazendo a mesma substituição integral sin(t) cdot 3 dt = -3 cos(t) + C = -3 cos(x3) , temos:
3 integral sin(x3) dx = -9 cos(x3)
Portanto:
3x sin(x3) - (-9 cos(x3)) = 3x sin(x3) + 9 cos(x3)
Substituindo de volta na expressão anterior:

Passo 6

Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de 3 cdot 18pi cdot sin(18pi3) + 9 cos(18pi3) = 54pi cdot sin(6pi) + 9 cos(6pi) e = 54pi cdot 0 + 9 cdot 1 = 9 :
Para 3 cdot 15pi cdot sin(15pi3) + 9 cos(15pi3) = 45pi cdot sin(5pi) + 9 cos(5pi) :
= 45pi cdot 0 + 9 cdot (-1) = -9
Sabemos que e , então:
Para :
Sabemos que e , então:

Resposta

Subtraindo os valores nos limites:
9 - (-9) = 18
Portanto, o valor da integral é 18.

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