Calcule as integrais definidas abaixo.
(g)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Aqui, a gente vai precisar usar um método chamado integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções, como é o caso de e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula é:
Nessa fórmula, a gente escolhe e de forma estratégica. Para o nosso caso, vamos deixar:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar e .
Calculando :
Para encontrar , vamos integrar :
Aqui, fazemos uma substituição simples. Seja , então ou . Assim:

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral restante:
Fazendo a mesma substituição , temos:
Portanto:
Substituindo de volta na expressão anterior:

Passo 6

Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de e :
Para :
Sabemos que e , então:
Para :
Sabemos que e , então:

Resposta

Subtraindo os valores nos limites:
Portanto, o valor da integral é 18.

Exercícios relacionados

Para calcular a integral , aplica-se o método da integração por partes com e , obtendo
Resolva a integral acima.
Considere a função
Indique os pontos críticos de caso possua e a regiões de crescimento e decrescimento da função.
Trace a curva definida por , indique sua orientação e calcule seu comprimento.
(a)
Determine de modo que