Trace a curva definida por , indique sua orientação e calcule seu comprimento.
(a)

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede pra gente traçar uma curva definida por uma função vetorial, indicar como ela está orientada e calcular o comprimento dela. Vamos trabalhar com funções paramétricas e usar a fórmula do comprimento de arco pra resolver isso. Vamos precisar entender um pouco de derivadas e integrais também.

Passo 2

A curva que a gente vai analisar é dada por:
Aqui, e são os vetores unitários nas direções x e y, respectivamente. Isso significa que as componentes x e y da curva são e .

Passo 3

Para traçar a curva, vamos analisar como se comporta conforme varia de 0 até . Note que é uma função que cresce exponencialmente, então a magnitude da curva aumenta conforme aumenta. As funções trigonométricas e fazem com que a curva gire ao redor da origem. Juntando isso, a curva é uma espiral que se afasta da origem à medida que gira.

Passo 4

A orientação da curva é determinada pelo aumento de . Como vai de 0 até , a curva começa em e se move na direção crescente de até . Isso significa que a espiral está sendo traçada no sentido anti-horário.

Passo 5

Agora, vamos calcular o comprimento da curva. A fórmula do comprimento de arco para uma curva vetorial é:
Onde é a derivada da função vetorial e é a magnitude dessa derivada. Primeiro, vamos encontrar .

Passo 6

Calculando a derivada de :
Usando a regra do produto:
Então,

Passo 7

Agora, vamos calcular a magnitude de :
Fatorando de cada termo:
Expandindo os quadrados:
Simplificando:
Portanto:

Passo 8

Finalmente, vamos calcular o comprimento da curva:

Resposta

O comprimento da curva é:

Exercícios relacionados

Calcule as integrais definidas abaixo.
(g)
Para calcular a integral , aplica-se o método da integração por partes com e , obtendo
Resolva a integral acima.
Determine de modo que
Trace a curva definida por , indique sua orientação e calcule seu comprimento.
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