Trace a curva definida por , indique sua orientação e calcule seu comprimento.
(a)
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede pra gente traçar uma curva definida por uma função vetorial, indicar como ela está orientada e calcular o comprimento dela. Vamos trabalhar com funções paramétricas e usar a fórmula do comprimento de arco pra resolver isso. Vamos precisar entender um pouco de derivadas e integrais também.
Passo 2
A curva que a gente vai analisar é dada por:
Aqui, e são os vetores unitários nas direções x e y, respectivamente. Isso significa que as componentes x e y da curva são e .
Passo 3
Para traçar a curva, vamos analisar como se comporta conforme varia de 0 até . Note que é uma função que cresce exponencialmente, então a magnitude da curva aumenta conforme aumenta. As funções trigonométricas e fazem com que a curva gire ao redor da origem. Juntando isso, a curva é uma espiral que se afasta da origem à medida que gira.
Passo 4
A orientação da curva é determinada pelo aumento de . Como vai de 0 até , a curva começa em e se move na direção crescente de até . Isso significa que a espiral está sendo traçada no sentido anti-horário.
Passo 5
Agora, vamos calcular o comprimento da curva. A fórmula do comprimento de arco para uma curva vetorial é:
Onde é a derivada da função vetorial e é a magnitude dessa derivada. Primeiro, vamos encontrar .
Passo 6
Calculando a derivada de :
Usando a regra do produto:
Então,
Passo 7
Agora, vamos calcular a magnitude de :
Fatorando de cada termo:
Expandindo os quadrados:
Simplificando:
Portanto:
Passo 8
Finalmente, vamos calcular o comprimento da curva: