Considere a função
Indique os pontos críticos de
caso possua e a regiões de crescimento e decrescimento da função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função dada por
. Nosso objetivo é encontrar os pontos críticos dessa função e descobrir onde ela está crescente ou decrescente. Para isso, vamos precisar saber un pouco sobre derivadas, já que pontos críticos acontecem onde a derivada é zero ou não existe, e o comportamento de crescimento depende do sinal da derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada da função
. Como temos uma fração, vamos usar a Regra do Quociente. A derivada de
é
. Aqui,
e
.
Passo 3
Vamos calcular
e
:
Passo 4
Agora, aplicando a Regra do Quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Então,
Passo 5
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, onde
ou
não existe. A derivada existe para todos os
porque o denominador
nunca é zero (já que
sempre).
Então, resolvemos :
Então, resolvemos
Isso acontece quando o numerador é zero:
Sabemos que
, então:
Portanto, os pontos críticos são
e
.
Passo 6
Agora, vamos determinar as regiões onde a função é crescente ou decrescente. Isso depende do sinal da derivada
:
- Se
, a função está crescendo. - Se
, a função está decrescendo.
Vamos analisar o sinal de
. O denominador é sempre positivo, então o sinal da derivada depende de
.
Como
sempre, e 3 é positivo, analisamos
:
- Para
: negativo, negativo → produto positivo. - Para
: positivo, negativo → produto negativo. - Para
: positivo, positivo → produto positivo.
Resposta
Os pontos críticos da função são
e
. A função está crescente nos intervalos
e
, e está decrescente no intervalo
.