Considere a função
f(x) = e^x / (3 x^2 + e^x)
Indique os pontos críticos de f caso possua e a regiões de crescimento e decrescimento da função.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função dada por . Nosso objetivo é encontrar os pontos críticos dessa função e descobrir onde ela está crescente ou decrescente. Para isso, vamos precisar saber un pouco sobre derivadas, já que pontos críticos acontecem onde a derivada é zero ou não existe, e o comportamento de crescimento depende do sinal da derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada da função . Como temos uma fração, vamos usar a Regra do Quociente. A derivada de é . Aqui, e .

Passo 3

Vamos calcular e :

Passo 4

Agora, aplicando a Regra do Quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Então,

Passo 5

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, onde ou não existe. A derivada existe para todos os porque o denominador nunca é zero (já que sempre).
Então, resolvemos :
Isso acontece quando o numerador é zero:
Sabemos que , então:
Portanto, os pontos críticos são e .

Passo 6

Agora, vamos determinar as regiões onde a função é crescente ou decrescente. Isso depende do sinal da derivada :
  • Se , a função está crescendo.
  • Se , a função está decrescendo.
Vamos analisar o sinal de . O denominador é sempre positivo, então o sinal da derivada depende de .
Como sempre, e 3 é positivo, analisamos :
  • Para : negativo, negativo → produto positivo.
  • Para : positivo, negativo → produto negativo.
  • Para : positivo, positivo → produto positivo.

Resposta

Os pontos críticos da função são e . A função está crescente nos intervalos e , e está decrescente no intervalo .

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