Calcular integral0^a integralx^a xraizx^2+y^2 d x d y

Passo 1

Vamos resolver a integral dupla . Esse exercício envolve cálculo de integrais duplas, onde vamos integrar uma função de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como trocar a ordem de integração e usar substituições matemáticas para simplificar a expressão dentro da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. O limite interno é de a para , e o limite externo é de a para . Para facilitar, vamos trocar a ordem das integrais. Assim, vai de a , e para cada , vai de a .

Passo 3

Com a ordem trocada, a integral fica:
integral0^a integral0^y xraizx^2+y^2 , dx , dy
Isso nos permite integrar em relação a primeiro.

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral interna:
integral0^y xraizx^2+y^2 , dx
Aqui, podemos usar a substituição , então , ou seja, .

Passo 5

Substituindo na integral:
integralu= y^2^u= 2y^2 1raizu cdot du2 = 12 integraly^2^2y^2 u^-1/2 , du
A antiderivada de é .

Passo 6

Integrando:
12 cdot 2 [ u^1/2 ]y^2^2y^2 = [ raizu ]y^2^2y^2 = raiz2y^2 - raizy^2 = yraiz2 - y = y(raiz2 - 1)

Passo 7

Agora, substituímos de volta na integral externa:
integral0^a y(raiz2 - 1) , dy = (raiz2 - 1) integral0^a y , dy
A integral de em relação a é .

Passo 8

Calculando a integral:
(raiz2 - 1) [ y^22 ]0^a = (raiz2 - 1) cdot a^22

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados