Calcular integral0^1 integraly^1 tan x^2 d x d y

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral dupla . Aqui, estamos trabalhando com integrais duplas que envolvem funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar trocar a ordem de integração e fazer uma substituição adequada.

Passo 2

Vamos começar trocando a ordem de integração. Atualmente, integral0^1 integral0^x tan(x^2) , dy , dx varia de 0 a 1 e, para cada , varia de a 1. Se invertermos a ordem, vai de 0 a 1 e, para cada , vai de 0 a . Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, observamos que integral0^1 tan(x^2) ( integral0^x , dy ) dx = integral0^1 tan(x^2) cdot x , dx não depende de , então podemos simplificar a integral interna em relação a :

Passo 4

Para resolver 12 integral0^1 tan(u) , du , vamos usar uma substituição. Seja , então ou . Substituindo na integral:

Passo 5

Agora, vamos integrar integral tan(u) , du = -ln|cos(u)| + C . Sabemos que:
12 [ -ln(cos(1)) + ln(cos(0)) ]
Aplicando os limites de 0 a 1:
-12 ln(cos(1))
Sabemos que e , então simplificando:

Resposta

-12 ln(cos(1))

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