Calcular

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral tripla:
Isso envolve calcular integrais iteradas, ou seja, integrar uma função em várias variáveis, uma de cada vez. Para resolver, vamos precisar usar integrais de funções trigonométricas e entender como manipular os limites de integração.

Passo 2

Vamos começar integrando em relação a . A função a ser integrada é . A integral de é , mas precisamos fazer uma substituição para simplificar:
Seja , então ou .
Substituindo na integral:

Passo 3

Agora, nossa integral tripla reduz para uma integral dupla:
Vamos integrar em relação a . A integral de é :
Sabemos que , então:

Passo 4

Agora, restou apenas uma integral simples em relação a :
Para resolver essa integral, usamos a técnica de integração por partes, onde escolhemos:
Aplicando a fórmula de integração por partes :
Agora, avaliamos de a :
Sabemos que , e , então:

Resposta

A integral tripla vale .

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