Calcular integral0^pi2 integralz^pi2 integral0^x z cos (yz) d y d x d z

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral tripla:
integral0^pi2 integralz^pi2 integral0^x z cos (yz) , dy , dx , dz
Isso envolve calcular integrais iteradas, ou seja, integrar uma função em várias variáveis, uma de cada vez. Para resolver, vamos precisar usar integrais de funções trigonométricas e entender como manipular os limites de integração.

Passo 2

Vamos começar integrando em relação a integral0^x z cos(yz) , dy = z integral0^x cos(u) , du = z [ sin(u) ]0^x = z (sin(x) - 0) = z sin(x) . A função a ser integrada é . A integral de é , mas precisamos fazer uma substituição para simplificar:
Seja , então ou .
Substituindo na integral:

Passo 3

Agora, nossa integral tripla reduz para uma integral dupla:
integral0^pi2 integralz^pi2 z sin(x) , dx , dz
Vamos integrar em relação a integralz^pi2 z sin(x) , dx = z [ -cos(x) ]z^pi2 = z ( -cos(pi2) + cos(z) ) . A integral de z (0 + cos(z)) = z cos(z) é :
Sabemos que , então:

Passo 4

Agora, restou apenas uma integral simples em relação a integral0^pi2 z cos(z) , dz :
u = z Rightarrow du = dz
Para resolver essa integral, usamos a técnica de integração por partes, onde escolhemos:
dv = cos(z) , dz Rightarrow v = sin(z)
integral z cos(z) , dz = z sin(z) - integral sin(z) , dz = z sin(z) + cos(z) + C
Aplicando a fórmula de integração por partes [ z sin(z) + cos(z) ]0^pi2 = ( pi2 sin(pi2) + cos(pi2) ) - ( 0 cdot sin(0) + cos(0) ) :
( pi2 cdot 1 + 0 ) - ( 0 + 1 ) = pi2 - 1
Agora, avaliamos de a :
Sabemos que , e , então:

Resposta

A integral tripla vale .

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