Calcular
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral tripla:
Isso envolve calcular integrais iteradas, ou seja, integrar uma função em várias variáveis, uma de cada vez. Para resolver, vamos precisar usar integrais de funções trigonométricas e entender como manipular os limites de integração.
Passo 2
Vamos começar integrando em relação a
. A função a ser integrada é
. A integral de
é
, mas precisamos fazer uma substituição para simplificar:
Seja
, então
ou
.
Substituindo na integral:
Passo 3
Agora, nossa integral tripla reduz para uma integral dupla:
Vamos integrar em relação a
. A integral de
é
:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Agora, restou apenas uma integral simples em relação a
:
Para resolver essa integral, usamos a técnica de integração por partes, onde escolhemos:
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Agora, avaliamos de
a
:
Sabemos que
,
e
, então:
Resposta
A integral tripla vale
.