Usando as coordenadas cilíndricas:
r l x & = r operatorname c o s theta y & = r operatorname s e n theta z & = z J ( r , theta , z ) & = r Rightarrow r 0 <= r <= 3 0 <= theta <= pi2 0 <= z <= 4

Passo 1

Beleza! Vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem um sistema de coordenadas cilíndricas definido pelas fórmulas:
x = r cos theta y = r sin theta z = z J(r, theta, z) = r
Além disso, temos os limites para cada coordenada:
O conteúdo que vamos usar aqui envolve coordenadas cilíndricas e integração múltipla. Precisamos entender como converter integrais usando essas coordenadas e aplicar os limites dados para resolver o exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que as coordenadas cilíndricas são uma forma de representar pontos no espaço tridimensional usando a distância radial V = integral integral integral J(r, theta, z) , dz , dtheta , dr , o ângulo e a altura . A transformação para coordenadas cartesianas é feita pelas equações que a questão já nos deu.
Quando a gente quer calcular o volume de uma região no espaço usando coordenadas cilíndricas, a integral tripla fica assim:
Onde é o jacobiano dessa transformação, que no caso é igual a .

Passo 3

Agora, vamos aplicar os limites fornecidos na questão para configurar nossa integral tripla. Sabemos que:
  • V = integral0^3 integral0^pi2 integral0^4 r , dz , dtheta , dr varia de 0 a 3
  • varia de 0 a
  • varia de 0 a 4
Então, a integral para o volume fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral passo a passo. Começamos pela integração em relação a integral0^4 r , dz = r cdot z |0^4 = r cdot 4 - r cdot 0 = 4r :
V = integral0^3 integral0^pi2 4r , dtheta , dr
Agora, nossa integral fica:

Passo 5

Seguimos para a integração em relação a integral0^pi2 4r , dtheta = 4r cdot theta |0^pi2 = 4r cdot pi2 - 4r cdot 0 = 2pi r :
V = integral0^3 2pi r , dr
Agora, a integral simplifica para:

Passo 6

Por último, integramos em relação a integral0^3 2pi r , dr = 2pi cdot r^22 |0^3 = pi r^2 |0^3 = pi (3)^2 - pi (0)^2 = 9pi :

Resposta

O volume da região definida é .

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