Calcular integral0^1 2 e^x(x^2-1)+9 x e^x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrando funções que envolvem exponenciais e polinômios. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de integrais e, possivelmente, integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Podemos distribuir o 2 e^x(x^2-1) = 2 x^2 e^x - 2 e^x dentro do parêntese:
integral0^1 (2 x^2 e^x - 2 e^x + 9 x e^x) , dx
Então, nossa integral fica:

Passo 3

Agora, vamos combinar os termos semelhantes. Observamos que os termos integral0^1 (2 x^2 e^x + 9 x e^x - 2 e^x) , dx , e são todos multiplicados por . Organizando, temos:

Passo 4

Vamos separar a integral em três partes para facilitar a resolução:
integral0^1 2 x^2 e^x , dx + integral0^1 9 x e^x , dx - integral0^1 2 e^x , dx

Passo 5

Agora, vamos resolver cada uma dessas integrais individualmente. Para as duas primeiras integrais que envolvem , usaremos a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de um polinômio e uma função exponencial.

Passo 6

Começando com a primeira integral: 2 integral x^2 e^x , dx . Podemos fatorar o 2 fora:
2 ( x^2 e^x - integral 2x e^x , dx )
Usando integração por partes onde e , então e :
Agora, precisamos resolver , que também requer integração por partes.

Passo 7

Para 2 ( x e^x - integral e^x , dx ) = 2 ( x e^x - e^x ) , novamente usamos integração por partes com 2 ( x^2 e^x - ( 2x e^x - 2 e^x ) ) = 2 x^2 e^x - 4x e^x + 4 e^x e , então e :
Voltando à integral anterior:

Passo 8

Agora, resolvemos a segunda integral: 9 integral x e^x , dx . Fatoramos o 9:
9 ( x e^x - integral e^x , dx ) = 9 ( x e^x - e^x ) = 9x e^x - 9 e^x
Usamos integração por partes com e , então e :

Passo 9

A terceira integral é mais simples: 2 integral e^x , dx = 2 e^x . Integramos diretamente:

Passo 10

Agora, juntamos todas as partes que resolvemos:
2 x^2 e^x - 4x e^x + 4 e^x + 9x e^x - 9 e^x - 2 e^x
Simplificando os termos:
2 x^2 e^x + ( -4x e^x + 9x e^x ) + (4 e^x - 9 e^x - 2 e^x) = 2 x^2 e^x + 5x e^x -7 e^x

Passo 11

Agora, avaliamos a expressão acima nos limites de 0 a 1:
[ 2 x^2 e^x + 5x e^x -7 e^x ]0^1 = ( 2(1)^2 e^1 + 5(1) e^1 -7 e^1 ) - ( 2(0)^2 e^0 + 5(0) e^0 -7 e^0 )
Simplificando:
(2 e + 5 e - 7 e) - (0 + 0 -7 cdot 1) = (0) - (-7) = 7

Resposta

O valor da integral é .

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