Uma escada de 8 m está encostada em uma parede. Se a extremidade inferior da escada for afastada do pé da parede a uma velocidade constante de , com que velocidade a extremidade superior estará descendo no instante em que a inferior estiver a 4 m da parede?

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a gente tem aqui! A questão fala sobre uma escada de 8 metros encostada numa parede. A parte de baixo da escada está sendo afastada do pé da parede a uma velocidade constante de 3 metros por segundo. A pergunta é: com que velocidade a parte de cima da escada está descendo quando a base está a 4 metros da parede?
Aqui estamos lidando com taxas relacionadas na matemática, que é quando duas ou mais variáveis mudam em relação ao tempo. Precisamos usar um pouco de geometria e cálculo para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar a situação. Temos uma parede vertical e o chão horizontal. A escada forma um triângulo retângulo com a parede e o chão. Chamaremos a distância da base da escada à parede de x e a altura da escada na parede de y. A escada tem comprimento fixo, então sempre temos:

Passo 3

Agora, queremos saber como y está mudando quando x está mudando. Para isso, vamos derivar a equação em relação ao tempo t. Assim, teremos:
Aqui, é a velocidade com que a base da escada está se afastando da parede (já sabemos que é 3 m/s), e é a velocidade com que a parte de cima da escada está descendo (o que queremos encontrar).

Passo 4

Vamos organizar a equação para isolar :

Passo 5

Agora, precisamos descobrir os valores de x e y quando x está a 4 metros da parede. Já sabemos que x = 4 m. Vamos encontrar y usando a equação do triângulo:

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula da taxa de variação:

Resposta

A velocidade com que a extremidade superior da escada está descendo é de quando a base está a 4 metros da parede.

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Calcule o valor médio da função no intervalo .
Calcular
Considere a função . Em relação a essa função determine:
Os pontos de máximo e mínimo locais (se houver).
Construa o gráfico e calcule a área da região limitada pelas curvas .