Um fabricante precisa produzir caixas de papelão, com tampa, tendo na base um retângulo com comprimento igual ao triplo da largura. Calcule as dimensões que permitem a máxima economia de papelão para produzir caixas de volume de
. Dados: área da superfície da caixa retangular fechada:
.e volume da caixa retangular:
, onde
comprimento,
largura e
altura.
Passo 1
Vamos resolver um problema de otimização envolvendo caixas retangulares. Precisamos encontrar as dimensões (comprimento, largura e altura) de uma caixa com volume fixo de
que minimizam a quantidade de papelão utilizado, ou seja, a área da superfície. Para isso, vamos usar conceitos de funções, derivadas e otimização.
Passo 2
Sabemos que o comprimento
é o triplo da largura
. Podemos expressar isso como:
Passo 3
O volume da caixa é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Vamos isolar a altura
:
Passo 5
A área da superfície da caixa é:
Substituindo
:
Passo 6
Agora, substituímos
na expressão de
:
Passo 7
Queremos minimizar a área da superfície
. Para isso, derivamos
em relação a
e igualamos a zero:
Passo 8
Resolvendo a equação:
Multiplicando ambos os lados por
:
Dividindo por 12:
Passo 9
Agora que temos
, encontramos o comprimento:
Passo 10
E para a altura:
Resposta
As dimensões que permitem a máxima economia de papelão são:
- Comprimento
metros - Largura
metros - Altura
metros
Exercícios relacionados
Considere a função
. Em relação a essa função determine:
Os intervalos de crescimento e decrescimento.
Os intervalos de crescimento e decrescimento.
Calcule os limites a seguir utilizando a regra de L(i)
Calcular
Calcule o valor médio da função
no intervalo
.