Um fabricante precisa produzir caixas de papelão, com tampa, tendo na base um retângulo com comprimento igual ao triplo da largura. Calcule as dimensões que permitem a máxima economia de papelão para produzir caixas de volume de 36 m^3. Dados: área da superfície da caixa retangular fechada: S = 2l w + 2l h + 2w h.e volume da caixa retangular: V = l * w * h, onde l = comprimento, w = largura e h = altura.

Passo 1

Vamos resolver um problema de otimização envolvendo caixas retangulares. Precisamos encontrar as dimensões (comprimento, largura e altura) de uma caixa com volume fixo de que minimizam a quantidade de papelão utilizado, ou seja, a área da superfície. Para isso, vamos usar conceitos de funções, derivadas e otimização.

Passo 2

Sabemos que o comprimento é o triplo da largura . Podemos expressar isso como:

Passo 3

O volume da caixa é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Vamos isolar a altura :

Passo 5

A área da superfície da caixa é:
Substituindo :

Passo 6

Agora, substituímos na expressão de :

Passo 7

Queremos minimizar a área da superfície . Para isso, derivamos em relação a e igualamos a zero:

Passo 8

Resolvendo a equação:
Multiplicando ambos os lados por :
Dividindo por 12:

Passo 9

Agora que temos , encontramos o comprimento:

Passo 10

E para a altura:

Resposta

As dimensões que permitem a máxima economia de papelão são:
  • Comprimento metros
  • Largura metros
  • Altura metros

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