Calcule o valor médio da função y = 2 cos(x) no intervalo [-pi, pi].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o valor médio da função no intervalo de a . Isso está dentro da matéria de Cálculo, mais especificamente na parte de valores médios de funções usando integrais. Para isso, vamos precisar lembrar a fórmula do valor médio e saber como integrar funções trigonométricas como o cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o valor médio de uma função. O valor médio de uma função no intervalo é dado pela fórmula:
Isso significa que a gente integra a função no intervalo dado e divide pelo comprimento desse intervalo para encontrar o valor médio.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa fórmula à nossa função no intervalo de a . Aqui, e . Substituindo na fórmula:
Simplificando o denominador:

Passo 4

Vamos resolver a integral . Sabemos que a integral de é , então:
Agora, aplicamos os limites de integração de a :
Sabendo que e :
Então, a integral resulta em 0.

Passo 5

Voltando à fórmula do valor médio:

Resposta

O valor médio da função no intervalo é igual a 0.

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