Calcule o valor médio da função
no intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o valor médio da função
no intervalo de
a
. Isso está dentro da matéria de Cálculo, mais especificamente na parte de valores médios de funções usando integrais. Para isso, vamos precisar lembrar a fórmula do valor médio e saber como integrar funções trigonométricas como o cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o valor médio de uma função. O valor médio de uma função
no intervalo
é dado pela fórmula:
Isso significa que a gente integra a função no intervalo dado e divide pelo comprimento desse intervalo para encontrar o valor médio.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa fórmula à nossa função
no intervalo de
a
. Aqui,
e
. Substituindo na fórmula:
Simplificando o denominador:
Passo 4
Vamos resolver a integral
. Sabemos que a integral de
é
, então:
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
:
Sabendo que
e
:
Então, a integral resulta em 0.
Passo 5
Voltando à fórmula do valor médio:
Resposta
O valor médio da função
no intervalo
é igual a 0.
Exercícios relacionados
Calcular
Um fabricante precisa produzir caixas de papelão, com tampa, tendo na base um retângulo com comprimento igual ao triplo da largura. Calcule as dimensões que permitem a máxima economia de papelão para produzir caixas de volume de
. Dados: área da superfície da caixa retangular fechada:
.e volume da caixa retangular:
, onde
comprimento,
largura e
altura.
Uma escada de 8 m está encostada em uma parede. Se a extremidade inferior da escada for afastada do pé da parede a uma velocidade constante de
, com que velocidade a extremidade superior estará descendo no instante em que a inferior estiver a 4 m da parede?
Considere a função
. Em relação a essa função determine:
Os pontos de máximo e mínimo locais (se houver).
Os pontos de máximo e mínimo locais (se houver).