Calcular onde e é uma curva que liga a .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de linha , onde o campo vetorial é e a curva conecta o ponto ao ponto . Para isso, vamos usar um pouco de cálculo vetorial, especificamente a ideia de campos conservativos, que facilita bastante a nossa vida nesse tipo de integral.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o campo é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função potencial tal que . Se for conservativo, a integral de linha só depende dos pontos inicial e final, o que simplifica tudo.

Passo 3

Para encontrar a função potencial , vamos integrar cada componente do vetor em relação às suas variáveis. Começamos com a primeira componente:
Aqui, é uma função que depende de e .

Passo 4

Agora, derivamos em relação a e igualamos à segunda componente de :
é uma função que depende apenas de .

Passo 5

Em seguida, derivamos em relação a e igualamos à terceira componente de :
Comparando os dois lados, vemos que , o que significa que é uma constante. Podemos considerar essa constante como zero para simplificar.

Passo 6

Portanto, a função potencial é:
Agora que temos , podemos calcular a integral de linha usando a diferença de nos pontos final e inicial.

Passo 7

Calculamos no ponto final :
E no ponto inicial :

Resposta

A integral de linha vale 4.

Exercícios relacionados

Considere o campo calcule a integral de linha onde é a interseção da superfície com com o plano orientada como crescente.
Calcule onde é a curva definida por como orientada no sentido decrescente de .
Calcule onde e é dada por:
(a) , com .
Calcular onde é a curva obtida pela interseção do hemisfério superior da esfera de raio 1 e centro na origem, com o plano orientada do eixo para o eixo .