Calcular integralC F cdot d r onde F(x, y, z)=(z^2+1,2 z, 2 x z+2 y) e C é uma curva que liga (0,0,0) a (1,1,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de linha integralC F cdot dr, onde o campo vetorial é F(x, y, z) = (z^2+1, 2z, 2xz + 2y) e a curva C conecta o ponto (0,0,0) ao ponto (1,1,1). Para isso, vamos usar um pouco de cálculo vetorial, especificamente a ideia de campos conservativos, que facilita bastante a nossa vida nesse tipo de integral.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o campo F é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função potencial phi tal que F = nabla phi. Se for conservativo, a integral de linha só depende dos pontos inicial e final, o que simplifica tudo.

Passo 3

Para encontrar a função potencial phi, vamos integrar cada componente do vetor F em relação às suas variáveis. Começamos com a primeira componente:
partial phipartial x = z^2 + 1 implies phi = (z^2 + 1)x + h(y, z)
Aqui, h(y, z) é uma função que depende de y e z.

Passo 4

Agora, derivamos phi em relação a y e igualamos à segunda componente de F:
partial phipartial y = 2z = partial hpartial y implies h(y, z) = 2zy + k(z)
k(z) é uma função que depende apenas de z.

Passo 5

Em seguida, derivamos phi em relação a z e igualamos à terceira componente de F:
partial phipartial z = 2xz + 2y = partialpartial z[ (z^2 + 1)x + 2zy + k(z) ] = 2zx + 2y + k'(z)
Comparando os dois lados, vemos que k'(z) = 0, o que significa que k(z) é uma constante. Podemos considerar essa constante como zero para simplificar.

Passo 6

Portanto, a função potencial é:
phi(x, y, z) = (z^2 + 1)x + 2zy
Agora que temos phi, podemos calcular a integral de linha usando a diferença de phi nos pontos final e inicial.

Passo 7

Calculamos phi no ponto final (1,1,1):
phi(1,1,1) = (1^2 + 1)cdot 1 + 2cdot1cdot1 = 2 + 2 = 4
E no ponto inicial (0,0,0):
phi(0,0,0) = (0^2 + 1)cdot 0 + 2cdot0cdot0 = 0

Resposta

A integral de linha integralC F cdot dr vale 4.

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