Calcular
onde
e
é uma curva que liga
a
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de linha
, onde o campo vetorial é
e a curva
conecta o ponto
ao ponto
. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo vetorial, especificamente a ideia de campos conservativos, que facilita bastante a nossa vida nesse tipo de integral.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o campo
é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função potencial
tal que
. Se for conservativo, a integral de linha só depende dos pontos inicial e final, o que simplifica tudo.
Passo 3
Para encontrar a função potencial
, vamos integrar cada componente do vetor
em relação às suas variáveis. Começamos com a primeira componente:
Aqui,
é uma função que depende de
e
.
Passo 4
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos à segunda componente de
:
Passo 5
Em seguida, derivamos
em relação a
e igualamos à terceira componente de
:
Comparando os dois lados, vemos que
, o que significa que
é uma constante. Podemos considerar essa constante como zero para simplificar.
Passo 6
Portanto, a função potencial é:
Agora que temos
, podemos calcular a integral de linha usando a diferença de
nos pontos final e inicial.
Passo 7
Calculamos
no ponto final
:
E no ponto inicial
:
Resposta
A integral de linha
vale 4.
Exercícios relacionados
Considere o campo
calcule a integral de linha
onde
é a interseção da superfície
com
com o plano
orientada como
crescente.
Calcule
onde
é a curva definida por
como
orientada no sentido decrescente de
.
Calcule
onde
e
é dada por:
(a) , com
.
(a)
Calcular
onde
é a curva obtida pela interseção do hemisfério superior da esfera de raio 1 e centro na origem, com o plano
orientada do eixo
para o eixo
.