Calcular onde é a curva obtida pela interseção do hemisfério superior da esfera de raio 1 e centro na origem, com o plano orientada do eixo para o eixo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é calcular a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva . Essa curva é onde o hemisfério superior da esfera de raio 1, centrada na origem, intersecta o plano . A matéria que vamos usar aqui é cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e talvez o teorema de Stokes para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a curva . Ela é a interseção entre o hemisfério superior da esfera e o plano . Para visualizar isso, imagine uma esfera de raio 1 centrada na origem e um plano que corta essa esfera. A curva resultante é um círculo.

Passo 3

O próximo passo é verificar se podemos simplificar o cálculo usando o teorema de Stokes. Esse teorema relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao redor de uma curva fechada com a integral de superfície do rotacional desse campo através de uma superfície que tem essa curva como fronteira. Ou seja:
Isso pode facilitar nossa vida se calcular o rotacional de for mais simples.

Passo 4

Vamos calcular o rotacional de , que é . Usando a fórmula do rotacional:
Calculando cada componente:
Então,

Passo 5

Vimos que o rotacional de é zero, ou seja, . Segundo o teorema de Stokes, se o rotacional de for zero em uma superfície , então a integral de linha ao redor da fronteira dessa superfície também é zero. Como nossa curva é a fronteira da interseção entre o hemisfério e o plano, podemos concluir que:

Resposta

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Calcule onde e é dada por:
(a) , com .
Calcular onde e é uma curva que liga a .
Encontrar o fluxo do campo vetorial através da superfície do corpo limitado por , com orientação normal exterior.
Encontrar o fluxo do campo vetorial através da superfície da pirâmide com vértices e , com orientação normal exterior.