Calcular
onde
é a curva obtida pela interseção do hemisfério superior da esfera de raio 1 e centro na origem, com o plano
orientada do eixo
para o eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é calcular a integral de linha de um campo vetorial
ao longo de uma curva
. Essa curva
é onde o hemisfério superior da esfera de raio 1, centrada na origem, intersecta o plano
. A matéria que vamos usar aqui é cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e talvez o teorema de Stokes para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a curva
. Ela é a interseção entre o hemisfério superior da esfera
e o plano
. Para visualizar isso, imagine uma esfera de raio 1 centrada na origem e um plano que corta essa esfera. A curva resultante é um círculo.
Passo 3
O próximo passo é verificar se podemos simplificar o cálculo usando o teorema de Stokes. Esse teorema relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao redor de uma curva fechada com a integral de superfície do rotacional desse campo através de uma superfície que tem essa curva como fronteira. Ou seja:
Isso pode facilitar nossa vida se calcular o rotacional de
for mais simples.
Passo 4
Vamos calcular o rotacional de
, que é
. Usando a fórmula do rotacional:
Calculando cada componente:
Então,
Passo 5
Vimos que o rotacional de
é zero, ou seja,
. Segundo o teorema de Stokes, se o rotacional de
for zero em uma superfície
, então a integral de linha ao redor da fronteira dessa superfície também é zero. Como nossa curva
é a fronteira da interseção entre o hemisfério e o plano, podemos concluir que:
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule
onde
e
é dada por:
(a) , com
.
(a)
Calcular
onde
e
é uma curva que liga
a
.
Encontrar o fluxo do campo vetorial
através da superfície do corpo limitado por
, com orientação normal exterior.
Encontrar o fluxo do campo vetorial
através da superfície da pirâmide com vértices
e
, com orientação normal exterior.