Calcular integralC F cdot d r onde F(x, y, z)=(y z+y+2 z+2, x z+x+z+1, x y+2 x+y+2) e C é a curva obtida pela interseção do hemisfério superior da esfera de raio 1 e centro na origem, com o plano x+y+z=1 orientada do eixo y para o eixo x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é calcular a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva . Essa curva é onde o hemisfério superior da esfera de raio 1, centrada na origem, intersecta o plano . A matéria que vamos usar aqui é cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e talvez o teorema de Stokes para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a curva . Ela é a interseção entre o hemisfério superior da esfera e o plano . Para visualizar isso, imagine uma esfera de raio 1 centrada na origem e um plano que corta essa esfera. A curva resultante é um círculo.

Passo 3

O próximo passo é verificar se podemos simplificar o cálculo usando o teorema de Stokes. Esse teorema relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao redor de uma curva fechada com a integral de superfície do rotacional desse campo através de uma superfície que tem essa curva como fronteira. Ou seja:
ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot dS
Isso pode facilitar nossa vida se calcular o rotacional de for mais simples.

Passo 4

Vamos calcular o rotacional de nabla times F = ( partial F3partial y - partial F2partial z, , partial F1partial z - partial F3partial x, , partial F2partial x - partial F1partial y ) , que é partial F3partial y = x + 1, partial F2partial z = x + 1 partial F1partial z = y + 2, partial F3partial x = y + 2 partial F2partial x = z + 1, partial F1partial y = z + 1 . Usando a fórmula do rotacional:
nabla times F = ( (x + 1) - (x + 1), , (y + 2) - (y + 2), , (z + 1) - (z + 1) ) = (0, 0, 0)
Calculando cada componente:
Então,

Passo 5

Vimos que o rotacional de ointC F cdot dr = 0 é zero, ou seja, . Segundo o teorema de Stokes, se o rotacional de for zero em uma superfície , então a integral de linha ao redor da fronteira dessa superfície também é zero. Como nossa curva é a fronteira da interseção entre o hemisfério e o plano, podemos concluir que:

Resposta

ointC F cdot dr = 0

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