Calcule onde e é dada por:
(a) , com .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de linha , onde é um campo vetorial específico e é uma curva parametrizada. Isso envolve conhecimentos de Cálculo Vetorial, especificamente de integrais de linha. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar a curva, calcular a derivada da parametrização e, então, substituir tudo na integral para encontrar o resultado final.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada parte da integral representa. A integral de linha calcula o trabalho realizado pelo campo vetorial ao longo da curva . Para calcular isso, precisamos da parametrização da curva , que é dada por , onde varia de 0 a 1.

Passo 3

Vamos anotar a parametrização da curva :
Para calcular a integral de linha, precisamos encontrar a derivada de em relação a , que é .

Passo 4

Vamos calcular . Derivando cada componente de em relação a :
  1. Primeira componente:
  1. Segunda componente:
  1. Terceira componente:
Portanto,

Passo 5

Agora, substituímos a parametrização no campo vetorial :
Substituindo , , e , obtemos:
Para simplificar, vamos nos concentrar na multiplicação escalar .

Passo 6

A integral de linha agora fica:
Calculando o produto escalar e integrando de 0 a 1, podemos usar métodos numéricos ou analíticos para resolver. Devido à complexidade das funções envolvidas, a abordagem numérica é mais viável.
Após realizar os cálculos, obtemos:

Resposta

é

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