Calcule
onde
e
é dada por:
(a)
, com
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de linha
, onde
é um campo vetorial específico e
é uma curva parametrizada. Isso envolve conhecimentos de Cálculo Vetorial, especificamente de integrais de linha. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar a curva, calcular a derivada da parametrização e, então, substituir tudo na integral para encontrar o resultado final.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada parte da integral representa. A integral de linha
calcula o trabalho realizado pelo campo vetorial
ao longo da curva
. Para calcular isso, precisamos da parametrização da curva
, que é dada por
, onde
varia de 0 a 1.
Passo 3
Vamos anotar a parametrização da curva
:
Para calcular a integral de linha, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, que é
.
Passo 4
Vamos calcular
. Derivando cada componente de
em relação a
:
- Primeira componente:
- Segunda componente:
- Terceira componente:
Portanto,
Passo 5
Agora, substituímos a parametrização
no campo vetorial
:
Substituindo
,
, e
, obtemos:
Para simplificar, vamos nos concentrar na multiplicação escalar
.
Passo 6
A integral de linha agora fica:
Calculando o produto escalar
e integrando de 0 a 1, podemos usar métodos numéricos ou analíticos para resolver. Devido à complexidade das funções envolvidas, a abordagem numérica é mais viável.
Após realizar os cálculos, obtemos: