Calcule
onde
é a curva definida por
como
orientada no sentido decrescente de
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de linha
onde
é a curva definida por
com
, orientada no sentido decrescente de
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e campos conservativos.
Passo 2
Primeiro, observamos que a expressão dentro da integral pode ser interpretada como um produto vetorial entre o vetor
e o vetor diferencial
, dividido por
. Isso sugere que estamos lidando com uma integral que envolve funções racionais de
e
.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Notamos que
se assemelha à derivada da função
em coordenadas polares, onde
e
.
Passo 4
Em coordenadas polares, temos:
Comparando com a expressão que temos, vemos que:
Portanto, a integral se reduz a:
Passo 5
A integral
representa a variação total de
ao longo do caminho
. Para calcular isso, precisamos entender como
muda conforme percorremos a curva.
Passo 6
A curva
é uma parábola que abre para a direita, com vértice em
. Quando
varia de
a
,
varia de 0 a
e depois volta para 0, sendo orientada no sentido decrescente de
.
Passo 7
No início da curva, em
, temos
, o que corresponde a
. Ao chegar em
,
, correspondendo a
. Retornando a
,
volta a 0, completando uma variação total de
.
Passo 8
No entanto, devemos considerar a orientação da curva. Como a curva é percorrida de maneira que
diminui, a variação efetiva de
ao longo de todo o percurso é de
.
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Calcule
onde
e
é dada por:
(b) , com
.
(b)
Calcule a integral de linha do campo singular
Considere o campo
calcule a integral de linha
onde
é a interseção da superfície
com
com o plano
orientada como
crescente.
Calcular
onde
e
é uma curva que liga
a
.