Calcule integralC yx^2+y^2 d x+xx^2+y^2 d y onde C é a curva definida por y^2=2(x+2) como x in[-2,2] orientada no sentido decrescente de y.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de linha
integralC yx^2+y^2 , dx + xx^2+y^2 , dy,
onde é a curva definida por com , orientada no sentido decrescente de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e campos conservativos.

Passo 2

Primeiro, observamos que a expressão dentro da integral pode ser interpretada como um produto vetorial entre o vetor e o vetor diferencial , dividido por . Isso sugere que estamos lidando com uma integral que envolve funções racionais de e .

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
yx^2+y^2 , dx + xx^2+y^2 , dy = y , dx + x , dyx^2 + y^2
Notamos que se assemelha à derivada da função em coordenadas polares, onde e .

Passo 4

Em coordenadas polares, temos:
dtheta = x , dy - y , dxx^2 + y^2
Comparando com a expressão que temos, vemos que:
y , dx + x , dyx^2 + y^2 = dtheta
Portanto, a integral se reduz a:
integralC dtheta

Passo 5

A integral representa a variação total de ao longo do caminho . Para calcular isso, precisamos entender como muda conforme percorremos a curva.

Passo 6

A curva é uma parábola que abre para a direita, com vértice em . Quando varia de a , varia de 0 a e depois volta para 0, sendo orientada no sentido decrescente de .

Passo 7

No início da curva, em , temos , o que corresponde a . Ao chegar em , , correspondendo a . Retornando a , volta a 0, completando uma variação total de .

Passo 8

No entanto, devemos considerar a orientação da curva. Como a curva é percorrida de maneira que diminui, a variação efetiva de ao longo de todo o percurso é de .

Resposta

O valor da integral é .

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