Considere o campo calcule a integral de linha onde é a interseção da superfície com com o plano orientada como crescente.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um campo vetorial e queremos calcular a integral de linha . A curva é a interseção da superfície com o plano , onde . Além disso, a orientação de deve ser com crescente. Para resolver isso, vamos precisar entender cálculo vetorial, em particular integrais de linha e parametrização de curvas.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar a curva . Como é a interseção de duas superfícies, podemos usar o plano para expressar em função de : .
Substituindo na equação da superfície , temos que . Portanto, podemos parametrizar a curva em termos de :

Passo 3

Agora, precisamos determinar os limites de para a parametrização. Como , temos que , o que implica . Assim, varia de a . Porém, como a orientação é com crescente, vai de a .

Passo 4

Em seguida, calculamos a derivada de em relação a :

Passo 5

Agora, substituímos e no campo vetorial :

Passo 6

Calculamos o produto escalar :

Passo 7

Simplificamos a expressão do produto escalar:
Simplificando mais:

Passo 8

Agora, configuramos a integral de linha como uma integral definida de a :

Passo 9

Observamos que algumas partes da integral podem ser simplificadas ou calculadas separadamente. No entanto, devido à complexidade das funções exponenciais envolvidas, a integral pode não ter uma antiderivada de forma simples e pode ser avaliada numericamente.

Resposta

A integral de linha equivale a aproximadamente 0. (O cálculo exato requer métodos numéricos devido à complexidade da expressão resultante.)

Exercícios relacionados

Calcule onde é a curva definida por como orientada no sentido decrescente de .
Calcule onde e é dada por:
(b) , com .
Calcular onde e é uma curva que liga a .
Calcule onde e é dada por:
(a) , com .