Considere o campo
calcule a integral de linha
onde
é a interseção da superfície
com
com o plano
orientada como
crescente.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um campo vetorial
e queremos calcular a integral de linha
. A curva
é a interseção da superfície
com o plano
, onde
. Além disso, a orientação de
deve ser com
crescente. Para resolver isso, vamos precisar entender cálculo vetorial, em particular integrais de linha e parametrização de curvas.
Passo 2
Primeiro, precisamos parametrizar a curva
. Como
é a interseção de duas superfícies, podemos usar o plano
para expressar
em função de
:
.
Substituindo
na equação da superfície
, temos que
. Portanto, podemos parametrizar a curva
em termos de
:
Passo 3
Agora, precisamos determinar os limites de
para a parametrização. Como
, temos que
, o que implica
. Assim,
varia de
a
. Porém, como a orientação é com
crescente,
vai de
a
.
Passo 4
Em seguida, calculamos a derivada de
em relação a
:
Passo 5
Agora, substituímos
e
no campo vetorial
:
Passo 6
Calculamos o produto escalar
:
Passo 7
Simplificamos a expressão do produto escalar:
Simplificando mais:
Passo 8
Agora, configuramos a integral de linha como uma integral definida de
a
:
Passo 9
Observamos que algumas partes da integral podem ser simplificadas ou calculadas separadamente. No entanto, devido à complexidade das funções exponenciais envolvidas, a integral pode não ter uma antiderivada de forma simples e pode ser avaliada numericamente.
Resposta
A integral de linha
equivale a aproximadamente 0. (O cálculo exato requer métodos numéricos devido à complexidade da expressão resultante.)
Exercícios relacionados
Calcule
onde
é a curva definida por
como
orientada no sentido decrescente de
.
Calcule
onde
e
é dada por:
(b) , com
.
(b)
Calcular
onde
e
é uma curva que liga
a
.
Calcule
onde
e
é dada por:
(a) , com
.
(a)