Se
é dada por:
se
e
, prove que:
(a) A função
é contínua na origem.
(a) A função
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para provar que a função
(quando
) e
é contínua na origem
. Isso envolve entender o conceito de continuidade e calcular o limite da função quando
se aproxima de
. Vamos precisar usar coordenadas polares para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função é contínua em um ponto se o limite dela nesse ponto for igual ao valor da função no ponto. Ou seja, queremos mostrar que:
Como
, se provemos que o limite é 0, a função será contínua na origem.
Passo 3
Para calcular o limite, uma boa estratégia é usar coordenadas polares, onde
e
. Assim, à medida que
se aproxima de
,
tende a 0.
Passo 4
Substituindo
e
por
e
na função:
Simplificando o numerador e o denominador:
Porque
.
Passo 5
Agora, vamos analisar o limite quando
tende a 0:
Aqui,
é limitado (sempre entre -1 e 1), então o fator que domina é
. À medida que
tende a 0, todo o produto tende a 0.
Passo 6
Portanto:
Isso mostra que a função é contínua na origem.
Resposta
A função
é contínua na origem
.
Exercícios relacionados
Pode-se obter aproximações de
utilizando a sequência recursiva
, onde
.
(a) Encontre as aproximações para
.
(b) Mostre que, se , então
.
(a) Encontre as aproximações
(b) Mostre que, se
Sob que condições a função
satisfaz à equação de Laplace
?
Calcular
, onde
, ao longo dos seguintes caminhos.
a) circunferência de centro em e raio 2, no sentido anti-horário:
b) poligonal , onde
e
, de
até
;
c) quadrado de vértices e
no sentido anti-horário;
d) circunferência de centro na origem e raio 4, no sentido anti-horário.
a) circunferência de centro em
b) poligonal
c) quadrado de vértices
d) circunferência de centro na origem e raio 4, no sentido anti-horário.
Se
é dada por:
se
e
, prove que:
© A função não é diferenciável na origem. Por que isso não contradiz o Lema Fundamental?
© A função