Se z = f(x, y) é dada por: f(x, y) = 3 x^2 y / (x^2 + y^2) se (x, y) != (0, 0) e f(0,0) = 0, prove que:
(a) A função f é contínua na origem.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para provar que a função (quando ) e é contínua na origem . Isso envolve entender o conceito de continuidade e calcular o limite da função quando se aproxima de . Vamos precisar usar coordenadas polares para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função é contínua em um ponto se o limite dela nesse ponto for igual ao valor da função no ponto. Ou seja, queremos mostrar que:
Como , se provemos que o limite é 0, a função será contínua na origem.

Passo 3

Para calcular o limite, uma boa estratégia é usar coordenadas polares, onde e . Assim, à medida que se aproxima de , tende a 0.

Passo 4

Substituindo e por e na função:
Simplificando o numerador e o denominador:
Porque .

Passo 5

Agora, vamos analisar o limite quando tende a 0:
Aqui, é limitado (sempre entre -1 e 1), então o fator que domina é . À medida que tende a 0, todo o produto tende a 0.

Passo 6

Portanto:
Isso mostra que a função é contínua na origem.

Resposta

A função é contínua na origem .

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