Se é dada por: se e , prove que:
(a) A função é contínua na origem.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para provar que a função (quando ) e é contínua na origem . Isso envolve entender o conceito de continuidade e calcular o limite da função quando se aproxima de . Vamos precisar usar coordenadas polares para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função é contínua em um ponto se o limite dela nesse ponto for igual ao valor da função no ponto. Ou seja, queremos mostrar que:
Como , se provemos que o limite é 0, a função será contínua na origem.

Passo 3

Para calcular o limite, uma boa estratégia é usar coordenadas polares, onde e . Assim, à medida que se aproxima de , tende a 0.

Passo 4

Substituindo e por e na função:
Simplificando o numerador e o denominador:
Porque .

Passo 5

Agora, vamos analisar o limite quando tende a 0:
Aqui, é limitado (sempre entre -1 e 1), então o fator que domina é . À medida que tende a 0, todo o produto tende a 0.

Passo 6

Portanto:
Isso mostra que a função é contínua na origem.

Resposta

A função é contínua na origem .

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(a) Encontre as aproximações para .
(b) Mostre que, se , então .
Sob que condições a função satisfaz à equação de Laplace ?
Calcular , onde , ao longo dos seguintes caminhos.
a) circunferência de centro em e raio 2, no sentido anti-horário:
b) poligonal , onde e , de até ;
c) quadrado de vértices e no sentido anti-horário;
d) circunferência de centro na origem e raio 4, no sentido anti-horário.
Se é dada por: se e , prove que:
© A função não é diferenciável na origem. Por que isso não contradiz o Lema Fundamental?